Nawias Poissona

Nawias Poissona – pojęcie z dziedziny fizyki matematycznej, głównie mechaniki klasycznej, a konkretniej mechaniki Hamiltona. Występuje m.in. w kanonicznych równaniach Hamiltona, które opisują ewolucję w czasie układu fizycznego. Nawias Poissona to działanie dwuargumentowe na zbiorze wielkości fizycznych.

Nawiasy Poissona służą też do definicji algebry Poissona (por. dalej). Są tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona.

Nawiasy Poissona we współrzędnych kanonicznychEdytuj

Jeżeli w przestrzeni fazowej danego układu fizycznego wprowadzi się współrzędne uogólnione[1]

 
 

gdzie   jest liczbą stopni swobody układu fizycznego, to nawiasem Poissona funkcji   i   zależnych od współrzędnych kanonicznych i czasu

 
 

nazywamy wyrażenie

 

Własności nawiasu PoissonaEdytuj

  • Antysymetria[1]
 

co oznacza, że zmiana kolejności funkcji w nawiasie zmienia znak nawiasu na przeciwny

 
  • Reguła Leibniza
 
  • Tożsamość Jacobiego
 

Pochodna czasowa nawiasu PoissonaEdytuj

Wzór dla pochodnej cząstkowej po czasie:

 

Wzór dla pełnej pochodnej po czasie:

 

Nawiasy Poissona współrzędnych kanonicznychEdytuj

Wychodząc z definicji nawiasów Poissona łatwo pokazać, że dla dowolnych współrzędnych kanonicznych zachodzą zależności[1]:

 
 
 

gdzie:     jest to tzw. delta Kronekera.

W szczególności mamy np.

 
 
 
 

Powyższa własność nawiasów Poissona ma swój odpowiednik w tzw. metodzie kwantowania, w ramach której uzyskuje się równania ruchu układów kwantowych.

Dynamika układu fizycznegoEdytuj

Jeżeli   jest dowolną funkcją współrzędnych uogólnionych   pędów uogólnionych   oraz czasu   przy czym współrzędne te spełniają równania kanoniczne Hamiltona, to pochodna zupełna po czasie tej funkcji może być wyrażona za pomocą pochodnej cząstkowej funkcji po czasie oraz nawiasu Poissona obliczonego dla tej funkcji z funkcją Hamiltona tego układu

 

Współrzędne kanoniczne. Transformacje kanoniczneEdytuj

Przez układ współrzędnych kanonicznych rozumie się układ współrzędnych taki, że nawiasy Poissona tych współrzędnych spełniają zadane relacje komutacyjne, przy czym m.in. należą tu układy współrzędnych tworzone przez współrzędne uogólnione   oraz pędy uogólnione  

Nawiasy Poissona wyróżniają klasę transformacji współrzędnych, tzw. transformacji kanonicznych, które odwzorują układ współrzędnych kanonicznych w inny układ współrzędnych kanonicznych. Zbiór możliwych transformacji kanonicznych jest zwykle bardzo duży. Np. zawsze jest możliwy wybór Hamiltonianu   jako jeden z nowych pędów kanonicznych.

Algebra PoissonaEdytuj

Algebrą Poissona nad ciałem   (zwykle   lub  ) nazywa się przestrzeń liniową   z określonym w niej działaniem dwuargumentowym   spełniającym dla dowolnych funkcji   3 warunki algebry Liego:

  • antyprzemienność
 
  • dwuliniowość
 
 
  • tożsamość Jacobiego
 

oraz regułę Leibniza:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009, s. 160.

BibliografiaEdytuj

  • L.D. Landau, J.M. Lifszyc: Mechanika. Wyd. czwarte. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 2011.

Linki zewnętrzneEdytuj