Kwantowanie (fizyka)

Kwantowanie, kwantyzacja – konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Metody kwantowania

Kwantowanie kanoniczne

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych $q_{i}$ i pędów uogólnionych $p_{i}$ – zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

$\{A,B\}=\sum _{i=1}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}\right).$

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio ($k$ i $l$ indeksują zmienne kanoniczne)

$\{q_{l},q_{k}\}=0,$

$\{p_{l},p_{k}\}=0,$

$\{q_{l},p_{k}\}=\delta _{lk}.$

Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

$\{.,.\}\longrightarrow {\frac {1}{i\hslash }}[.,.],$

czyli

${\hat {H}}=H({\hat {q}},{\hat {p}},t),$

$[{\hat {q}}_{l},{\hat {q}}_{k}]=0,$

$[{\hat {p}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=0,$

$[{\hat {q}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=i\hslash \delta _{lk}.$

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji $\Psi (q)$ można wprowadzić operatory

${\hat {q}}_{i}\Psi (q)=q_{i}\Psi (q),$

${\hat {p}}_{i}\Psi (q)=-i\hslash {\frac {\partial \Psi (q)}{\partial q_{i}}}.$

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać $H={\frac {1}{2m}}{\vec {p}}^{\,2}.$ Odpowiadający mu kwantowy operator to ${\hat {H}}=-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta .$ Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie

$-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {x}})=E\Psi ({\vec {x}}).$

Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:

$-i\hslash {\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {x}})={\vec {k}}\Psi ({\vec {x}}).$

Rozwiązując te równania, znajdujemy

$\Psi ({\vec {x}})=Ne^{\frac {i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}{\hslash }},$

$E={\frac {1}{2m}}{\vec {k}}^{\,2}.$

W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.

Zobacz też

• funkcja falowa
• hamiltonian
• mechanika klasyczna
• mechanika kwantowa
• nawias Poissona

Bibliografia

• Steven Weinberg, Teoria pól kwantowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001.