Elipsoida naprężeń Lamégo

Elipsoida naprężeń Lamégo – graficzna reprezentacja stanu naprężenia w pewnym punkcie ośrodka, alternatywna do koła Mohra. Elipsoida ta jest miejscem geometrycznym końców wektorów naprężenia $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}.$ Jej pojęcie zostało wprowadzone przez Cauchy’ego i Lamego w okresie powstawania teorii sprężystości (około 1820–1830).

Konstrukcja

Wektor naprężenia $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$ (gdzie $\mathbf {n}$ jest wektorem normalnym) w dowolnym punkcie $P$ może być zapisany jako:

$T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3},$

gdzie $\sigma _{1}n_{1},~~\sigma _{2}n_{2},~~\sigma _{3}n_{3}$ – naprężenia główne.

Zgodnie z własnością wektora normalnego możemy napisać:

$n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1=\left({\frac {T_{1}}{\sigma _{1}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {T_{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {T_{3}}{\sigma _{3}^{2}}}\right)^{2}.$

Otrzymujemy równanie elipsoidy o środku zgodnym z zadanym układem współrzędnych i półosiach $\pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}.$

Interpretacja

W odniesieniu do powstałej konstrukcji niezmienniki stanów naprężenia $I_{1},$ $I_{2},$ $I_{3}$ można interpretować następująco:

• $I_{1}$ – jest sumą trzech półosi elipsoidy naprężeń,
• $I_{2}$ – jest proporcjonalne do sumy pól trzech przekrojów głównych elipsoidy,
• $I_{3}$ – jest proporcjonalne do objętości elipsoidy.

Zobacz też

• elipsoida bezwładności
• koło Mohra