Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow [1] Kenneth Arrow [2] funkcji produkcji Cobba-Douglasa .
Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać[2]
f
(
k
,
l
)
=
(
α
k
σ
−
1
σ
+
β
l
σ
−
1
σ
)
σ
σ
−
1
,
{\displaystyle f(k,l)=\left(\alpha k^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}},}
gdzie:
α
,
β
,
σ
{\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \sigma }
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
σ
{\displaystyle \sigma }
co jest równoznaczne z zapisem:
f
(
x
1
,
x
2
)
=
(
α
x
1
ρ
+
β
x
2
ρ
)
γ
ρ
,
{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(\alpha {x_{1}}^{\rho }+\beta {x_{2}}^{\rho })^{\frac {\gamma }{\rho }},}
gdzie:
γ
{\displaystyle \gamma }
stopień jednorodności , zazwyczaj przyjmuje się
γ
=
1.
{\displaystyle \gamma =1.}
edytuj
Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS)[3]
M
R
T
S
k
,
l
=
α
k
−
1
σ
β
l
−
1
σ
,
{\displaystyle MRTS_{k,l}={\frac {\alpha k^{\frac {-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac {-1}{\sigma }}}},}
po przekształceniu:
k
l
=
(
α
M
R
T
S
l
,
k
β
)
σ
.
{\displaystyle {\frac {k}{l}}=\left({\frac {\alpha MRTS_{l,k}}{\beta }}\right)^{\sigma }.}
Po zlogarytmowaniu obu stron:
ln
k
l
=
σ
(
ln
α
β
+
ln
|
M
R
T
S
l
,
k
|
)
.
{\displaystyle \ln {\frac {k}{l}}=\sigma \left(\ln {\frac {\alpha }{\beta }}+\ln |MRTS_{l,k}|\right).}
Stąd elastyczność substytucji:
E
S
=
ln
k
l
ln
|
M
R
T
S
l
,
k
|
=
σ
.
{\displaystyle ES={\frac {\ln {\frac {k}{l}}}{\ln |MRTS_{l,k}|}}=\sigma .}
Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci
f
(
x
1
,
x
2
)
=
(
x
1
ρ
+
x
2
ρ
)
1
ρ
{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=({x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho })^{\frac {1}{\rho }}}
[4]
min
p
1
x
1
+
p
2
x
2
{\displaystyle \min p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}
przy warunku:
x
1
ρ
+
x
2
ρ
=
y
ρ
.
{\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}
Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a , uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:
p
1
−
λ
ρ
x
1
ρ
−
1
=
0
,
{\displaystyle p_{1}-\lambda \rho {x_{1}}^{\rho -1}=0,}
p
2
−
λ
ρ
x
2
ρ
−
1
=
0
,
{\displaystyle p_{2}-\lambda \rho {x_{2}}^{\rho -1}=0,}
x
1
ρ
+
x
2
ρ
=
y
ρ
.
{\displaystyle {x_{1}}^{\rho }+{x_{2}}^{\rho }=y^{\rho }.}
Wyznaczamy
x
1
ρ
i
x
2
ρ
{\displaystyle {x_{1}^{\rho }}\;{\text{i}}\;{x_{2}^{\rho }}}
x
1
ρ
=
p
1
ρ
ρ
−
1
(
λ
ρ
)
−
ρ
ρ
−
1
,
{\displaystyle x_{1}^{\rho }=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}},}
x
2
ρ
=
p
2
ρ
ρ
−
1
(
λ
ρ
)
−
ρ
ρ
−
1
{\displaystyle x_{2}^{\rho }=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}
i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje
(
λ
ρ
)
−
ρ
ρ
−
1
[
p
1
ρ
ρ
−
1
+
p
2
ρ
ρ
−
1
]
=
y
ρ
.
{\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.}
Wyznaczamy
(
λ
ρ
)
−
ρ
ρ
−
1
{\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}}
x
1
(
p
1
,
p
2
,
y
)
=
p
1
ρ
ρ
−
1
[
p
1
ρ
ρ
−
1
+
p
2
ρ
ρ
−
1
]
−
1
ρ
y
,
{\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,}
x
2
(
p
1
,
p
2
,
y
)
=
p
2
ρ
ρ
−
1
[
p
1
ρ
ρ
−
1
+
p
2
ρ
ρ
−
1
]
−
1
ρ
y
.
{\displaystyle x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.}
Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy
c
(
p
1
,
p
2
,
y
)
=
y
[
p
1
ρ
ρ
−
1
+
p
2
ρ
ρ
−
1
]
ρ
−
1
ρ
.
{\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.}
W ogólnym przypadku, gdzie
f
(
x
1
,
x
2
)
=
[
(
α
x
1
)
ρ
+
(
β
x
2
)
ρ
]
1
ρ
,
{\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\big [}(\alpha x_{1})^{\rho }+(\beta x_{2})^{\rho }{\big ]}^{\frac {1}{\rho }},}
ρ
ρ
−
1
{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho -1}}}
r
,
{\displaystyle r,}
c
(
p
1
,
p
2
,
y
)
=
y
[
(
p
1
/
α
)
r
+
(
p
2
/
β
)
r
]
1
r
.
{\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y{\big [}(p_{1}/\alpha )^{r}+(p_{2}/\beta )^{r}{\big ]}^{\frac {1}{r}}.}
edytuj
W granicy dla
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1}
funkcją Cobba-Douglasa [5]
Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES
ln
(
Y
)
=
ln
(
A
)
+
1
ρ
ln
(
α
K
ρ
+
(
1
−
α
)
L
ρ
)
{\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\rho }}\ln(\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho })}
i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala
lim
ρ
→
0
ln
(
Y
)
=
ln
(
A
)
+
α
ln
(
K
)
+
(
1
−
α
)
ln
(
L
)
,
{\displaystyle \lim _{\rho \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L),}
stąd
Y
=
A
K
α
L
1
−
α
.
{\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }.}
Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
funkcją produkcji Leontiefa
Y
=
f
(
k
,
l
)
=
min
{
α
k
,
β
l
}
.
{\displaystyle Y=f(k,l)=\min\{\alpha k,\ \beta l\}.}
Przy nieskończonej elastyczności, czyli
σ
=
∞
{\displaystyle \sigma =\infty }
liniowa :
Y
=
f
(
k
,
l
)
=
α
k
+
β
l
.
{\displaystyle Y=f(k,l)=\alpha k+\beta l.}
↑ R.M. R.M. Solow R.M. R.M. , A contribution to the theory of economic growth , „The Quarterly Journal of Economics. 70”, 1956 . Brak numerów stron w czasopiśmie ↑ a b Samuelson i inni , Paul A. Samuelson, John R. Hicks, Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu and Maurice F.C. Allais , Edward Elgar, 2010, ISBN 978-1-78536-225-5 , OCLC 763140267 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce ↑ Francis F. Renaud Francis F. , Theory of Cost and Production Functions. By R. W. Shephard. Princeton: Princeton University Press, 1970. Pp. xi, 308. , „The Journal of Economic History”, 31 (3), 1971 , s. 721–723, DOI : 10.1017/s002205070007457x , ISSN 0022-0507 [dostęp 2020-05-01] .↑ Hal R. H.R. Varian Hal R. H.R. , Microeconomic analysis , wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, ISBN 0-393-95735-7 , OCLC 24847759 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce ↑ Wing Chuen W.Ch. Suen Wing Chuen W.Ch. , The structure of economics. A mathematical analysis , wyd. 3rd ed, Boston, Mass.: McGraw-Hill, 2001, ISBN 0-07-234352-4 , OCLC 43757632 [dostęp 2020-05-01] . Brak numerów stron w książce
R.W. Shephard, Theory of cost and production functions , Princeton University Press, Princeton, 1978.
P.H. Douglas, Are there laws of production? , „American Economic Review ”, 1948.
M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application , North-Holland, Amsterdam, 1980.
Hal R. Varian, Microeconomic analysis , 3rd ed, New York: Norton, 1992. 
![{\displaystyle (\lambda \rho )^{\frac {-\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]=y^{\rho }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3c4265d20d2409cdf32d4020445068405b925c)
![{\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},y)=p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4804ef1b86a8029b37ec0dd265d9aad26371f7ff)
![{\displaystyle x_{2}(p_{1},p_{2},y)=p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {-1}{\rho }}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d911040da3a88d456ea193d24d86a31adbf4c7d)
![{\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y\left[p_{1}^{\frac {\rho }{\rho -1}}+p_{2}^{\frac {\rho }{\rho -1}}\right]^{\frac {\rho -1}{\rho }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224421c66179656e9bca881c2089d46d105188c4)
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\big [}(\alpha x_{1})^{\rho }+(\beta x_{2})^{\rho }{\big ]}^{\frac {1}{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2c88997e835afbbc9e98dccae76455f711b4be)
![{\displaystyle c(p_{1},p_{2},y)=y{\big [}(p_{1}/\alpha )^{r}+(p_{2}/\beta )^{r}{\big ]}^{\frac {1}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ea70c16d97d94ea9bebc3b0c19f804e76e9a56)
