Kryterium Kummera (albo kryterium Diniego-Kummera[1]) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1835[2] przez Ernsta Kummera. W 1867 Ulisse Dini opuścił założenie (zob. wypowiedź kryterium niżej), którego używał Kummer w swojej pracy[1]. Inny dowód kryterium Kummera podał w 1994 Jingcheng Tong[3].

Kryterium

edytuj

Niech dany będzie szereg

 
(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech   będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

 
(C)

Niech ponadto

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest rozbieżny[4].

Wersja graniczna kryterium

edytuj

Kryterium Kummera można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg   jest zbieżny do pewnego   to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy  [5].

W przypadku, gdy   kryterium nie rozstrzyga.

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera

edytuj

Niech   dla wszelkich   Wówczas

 

Jeżeli ciąg

 

jest zbieżny do pewnego   to również ciąg   jest zbieżny oraz   Jeżeli   to   a więc szereg (A) jest zbieżny. Jeżeli   to   a wówczas szereg (A) jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’Alemberta[5].

Z rozbieżności szeregu harmonicznego

 

wynika, że ciąg   spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

 

gdzie   jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium Raabego[5][6].

Dowód

edytuj

W przypadku, gdy dla prawie wszystkich   spełniona jest nierówność   dla tych samych   zachodzi także

 

Stąd

 

a zatem

 

Ciąg   maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg

 

jest zbieżny, bo jego  -ta suma częściowa wynosi   a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu

 

a więc i także samego szeregu (A)[1].

W przypadku, gdy   dla prawie wszystkich   dla tych   zachodzi nierówność

 

Z rozbieżności szeregu (C) wynika wówczas rozbieżność szeregu (A)[1][5].

Przypisy

edytuj
  1. a b c d Stromberg 2015 ↓, s. 406.
  2. E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184.
  3. J. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452.
  4. Fichtenholz 1966 ↓, s. 239.
  5. a b c d Fichtenholz 1966 ↓, s. 240.
  6. Kuratowski 1967 ↓, s. 49.

Bibliografia

edytuj