Kwantyl - jedno z podstawowych pojęć statystyki i rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja formalnaEdytuj

Kwantylem rzędu p, gdzie  , w rozkładzie empirycznym   zmiennej losowej X nazywamy każdą liczbę  , dla której spełnione są nierówności

 

oraz

 

W szczególności, kwantylem rzędu p jest taka wartość   zmiennej losowej, że wartości mniejsze lub równe od   są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej p, zaś wartości większe lub równe od   są przyjmowane z prawdopodobieństwem co najmniej 1-p.

Nazwy poszczególnych kwantyliEdytuj

Kwantyl rzędu 1/2 to inaczej mediana (Ściślej zależy to od definicji mediany, przy jej obliczaniu z próbki o parzystej liczbie elementów często stosuje się średnią arytmetyczną dwóch środkowych elementów, szczegóły są w artykule mediana).
Kwantyle rzędu 1/4, 2/4, 3/4 są inaczej nazywane kwartylami.
Kwantyle rzędu 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 to inaczej kwintyle.
Kwantyle rzędu 1/10, 2/10,..., 9/10 to inaczej decyle.
Kwantyle rzędu 1/100, 2/100,..., 99/100 to inaczej percentyle.

PrzykładEdytuj

Iloraz inteligencji, mierzony według skali Cattela jest zmienną losową o rozkładzie w przybliżeniu normalnym, wartości oczekiwanej równej 100 i odchyleniu standardowym równym 15.

Przypuśćmy, że zmierzono inteligencję 20 osób - to za mała próbka do analizy statystycznej, jednak dla czytelności przykładu użyto tu małej liczby. Wyniki w kolejności niemalejącej:
74, 80, 80, 85, 92, 94, 97, 98, 98, 100, 101, 101, 104, 104, 106, 109, 112, 115, 128, 137

Kwantyle rzędu 0.25 (czyli pierwsze kwartyle) tworzą przedział  . Kwantyle rzędu 0.5 (czyli drugie kwartyle) tworzą przedział   (dlatego mediana jest równa 100.5). Kwantyle rzędu 0.75 (czyli trzecie kwartyle) tworzą przedział  .

Pokrewne pojęciaEdytuj

Różnica między kwantylem rzędu 3/4 (trzecim kwartylem) a kwantylem rzędu 1/4 (pierwszym kwartylem) zwana jest rozstępem kwartylnym. Jest to miara rozrzutu zmiennej, podobna do odchylenia standardowego, jednak bardziej odporna na elementy odstające.

W statystyce do sprawdzania, czy dana zmienna losowa ma dany rozkład (np. rozkład normalny), używa się tzw. wykresów kwantyl-kwantyl, w których na jednej osi umieszczane są kwantyle rozkładu badanej zmiennej, a na drugiej osi kwantyle porównywanego rozkładu (przy estymowanych jego parametrach). Jeśli zmienna ma idealnie zadany rozkład, wykres ten przedstawia dokładnie prostą. Odchyłki od prostej wskazują na określone typy odchylenia (np. skośny, spłaszczony, itp.). Niektóre testy statystyczne, np. test Shapiro-Wilka oparte są na szacowaniu średniej odległości wykresu kwantyl-kwantyl od prostej.