Liść Kartezjusza

Liść Kartezjusza – płaska krzywa geometryczna trzeciego stopnia opisana równaniem:

Wykres liścia Kartezjusza (zielony) z asymptotą (niebieska) dla a=1

$x^{3}+y^{3}=3axy,$

gdzie $a\neq 0$ – stały parametr krzywej.

Krzywą tę można również opisać równaniami parametrycznymi:

$x={\frac {3at}{1+t^{3}}},$

$y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}},$

gdzie $t\neq 1,t\in R.$

Zakresom wartości parametru $t$ odpowiadają następujące fragmenty krzywej:

• dla $t<-1$ otrzymamy  prawe dolne „skrzydło” (wtedy $x>0,$ $y<0$),
• dla $-1<t<0$ otrzymamy lewe górne „skrzydło” (wtedy $x<0,$ $y>0$),
• dla $t>0$ otrzymamy pętlę na krzywej ($x>0,$ $y>0$).

Cechy liścia Kartezjusza:

• jest symetryczny względem prostej $y=x,$
• ma jedną asymptotę, którą jest prosta o równaniu $y=-x-a,$
• zmieniając wartość parametru $a$ na $-a$ otrzymamy liść Kartezjusza odbity symetrycznie względem prostej $y=-x,$
• pole obszaru otoczonego pętlą wynosi ${\tfrac {3}{2}}a^{2}.$

Liść Kartezjusza został zaproponowany przez Kartezjusza do sprawdzenia metod Pierre’a de Fermata służących do szukania ekstremów funkcji.

Zobacz też

• lista krzywych
• owal Kartezjusza
• trysektrysa Maclaurina

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 452. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Folium of Descartes, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).