Trysektrysa Maclaurina

krzywa płaska, mająca własność trysekcji kąta

Trysektrysa Maclaurinakrzywa płaska trzeciego stopnia (tj. wyrażona równaniem, w którym zmienne są w potędze trzeciej i niższych) mająca tę własność, że można jej użyć do podzielenia kąta na trzy części. Można ją zdefiniować jako miejsce przecięcia się dwóch prostych, obracających się ze stałą prędkością kątową wokół dwóch różnych punktów, tak że stosunek prędkości obrotu wynosi 1:3, a linie początkowo pokrywają się z linią łączącą punkty obrotu. Uogólnienie tej konstrukcji nazywa się sektrixem Maclaurina. Krzywa została nazwana na cześć Colina Maclaurina, który zbadał tę krzywą w 1742 roku.

Trysektrysa Maclaurina to zbiór punktów powstałych z przecięcia dwóch obracających się prostych

Równanie

edytuj

Niech dwie linie obracają się wokół punktów   oraz   w ten sposób, że – gdy linia obracająca się wokół punktu   jest pod kątem   do osi x – to prosta obracająca się wokół punktu   jest pod kątem   Niech   oznacza punkt przecięcia, wtedy kąt utworzony przez linie w   wynosi   Z twierdzenia sinusów wynika:

 

więc równanie w układzie współrzędnych biegunowych ma postać (z dokładnością do obrotu i przesunięcia)

 

W układzie współrzędnych kartezjańskich równanie krzywej ma postać

 

Jeżeli początek układu współrzędnych przesuniemy do punktu (a, 0), to wyprowadzenie analogiczne do podanego wyżej prowadzi do równania we współrzędnych biegunowych postaci

 

dając krzywą o postaci ślimaka Pascala z pętlą.

Własność trysekcji

edytuj
 
Trysektysa Maclaurina – pokaz własności trysekcji kąta.

Dla danego kąta   kreślimy prostą   pod kątem   do osi   Następnie kreślimy prostą z początku układu współrzędnych do punktu, gdzie pierwsza prosta przecina krzywą. Wtedy kąt między drugą prostą a osią   wynosi  

Własności

edytuj

Krzywa przecina oś X w punkcie   (jest to więc pierwiastek równania krzywej) i punkt osobliwy w początku układu współrzędnych. Linia pionowa   jest asymptotą. Krzywa przecina linię x = a (lub punkt odpowiadający trysekcji kata) w   Krzywa ma punkt przecięcia z sama sobą, dlatego jej genus jest równy zero.

Relacja do innych krzywych

edytuj

Trysektrysa Maclaurina może być zdefiniowana trzema sposobami w relacji do krzywych stożkowych:

 
 
and the line   relative to the origin.
  • It is the poderą względem paraboli, z początkiem ukadu współrzędnych będącym środkiem podery.
 

Ponadto:

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj