Liczba obrotu homeomorfizmu okręgu

Liczba obrotu homeomorfizmu okręgu – niezmiennik homeomorfizmów okręgu; liczba charakteryzująca asymptotyczne zachowanie iteracji homeomorficznego odwzorowania okręgu w siebie. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w teorii układów dynamicznych.

Definicja

Niech $f$ będzie zachowującym orientację homeomorfizmem okręgu na siebie, $f\colon S^{1}\to S^{1},$ gdzie $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .$ Niech $F$ będzie podniesieniem $f$ do homeomorfizmu prostej $\mathbb {R} ,$ spełniającym $F(x+m)=F(x)+m$ dla dowolnych liczb rzeczywistej $x$ i całkowitej $m.$

Liczbę obrotu odwzorowania $f$ określa się jako:

$\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},$

gdzie $F^{n}$ jest $n$-tą iteracją odwzorowania $F.$

Poprawność definicji, tj. istnienie i niezależność powyższej granicy od wyboru punktu $x,$ wynika z twierdzenia o istnieniu liczby obrotu.

Przykłady

• Jeśli $f$ jest obrotem okręgu o kąt $\alpha ,$ to liczba obrotu $f$ wynosi $\alpha .$
• Gdy $f$ jest dyfeomorfizmem okręgu mającym punkt stały, to liczba obrotu odwzorowania $f$ jest równa 0.

Zobacz też

• symbol Schläfliego

Linki zewnętrzne

• Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré’s Theorem, (2001).