Macierzowa reprezentacja tensorów

Macierzowa reprezentacja tensorów – forma reprezentacji tensorów z wykorzystaniem macierzy. Podstawowa zasada macierzowej reprezentacji tensorów brzmi: każdy indeks górny tensora musi być związany z jakąś kolumną, każdy indeks dolny musi być związany z jakimś wierszem.

Tensor I rzędu

Tensor I rzędu, czyli wektor ${\vec {v}},$ standardowo jest wyrażony z wykorzystaniem współrzędnych kowariantnych (jako wektor wierszowy, z dolnymi indeksami)

${\vec {v}}=[v_{i}]={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\dots &v_{n}\end{bmatrix}}$

lub kontrawariantnych (jako wektor kolumnowy, z górnymi indeksem)

${\vec {v}}=[v^{i}]={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}$

Dla ortogonalnych układów współrzędnych zachodzi równość współrzędnych ko- i kontrawairantnych, tj. $v_{i}=v^{j}$ i w związku z tym w takich układach zwykle stosuje się tylko dolne indeksy.

Tensor II rzędu

Układ ortogonalny

Ponieważ w układzie ortogonalnym mamy równość współrzędnych ko- i kontrawariantnych, zatem tensor II rzędu zapisujemy, korzystając tylko z dolnych indeksów, a jego postać macierzowa może być następująca

$T=[T_{ij}]={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\dots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\dots &T_{2n}\\\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\dots &T_{nn}\end{bmatrix}}$

Układ nieortogonalny

Wprowadzenie

Jeżeli układ współrzędnych nie jest ortogonalny, to nie można zastosować formy macierzowej dla układów ortogonalnych, ponieważ taka forma zapisu tensora „gubi” informację dotyczącą wariancji – co obrazuje poniższy przykład:

Weźmy tensor metryczny (występujący w teorii względności) $\eta =[\eta _{ij}]$ i wykonajmy iloczyn wewnętrzny z wektorem kontrawariantny ${\vec {v}}=[v^{j}].$ Z własności tensora metrycznego wynika, że powinniśmy otrzymać wektor wierszowy (kowariantny – czyli z indeksem dolnym $[v_{i}]$). Korzystając z notacji sumacyjnej i definicji iloczynu wewnętrznego tensorów, w zapisie wskaźnikowym mamy

$\eta _{ij}\cdot v^{j}=v_{i},$

zatem po prawej stronie równości dostajemy oczekiwany wektor kowariantny (wierszowy, czyli z dolnym indeksem). Natomiast zobaczmy, co się stanie, gdy użyjemy zapisu macierzowego używanego w układach ortogonalnych

$\eta \cdot {\vec {v}}=[\eta _{ij}]\cdot [v^{j}]{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Dostaliśmy wektor kolumnowy jako rezultat, a powinien wyjść wierszowy. Zatem powyższy zapis macierzowy wraz z działaniem mnożenia macierzy nie odwzorował prawidłowo działania iloczynu wewnętrznego tensorów, gdyż „zagubił” informacje o wariancji wektora wynikowego. Zatem taka forma macierzowa tensora $\eta$ nie jest prawidłowa.

Notacja

W literaturze często nie uwzględnia się wyżej opisanego problemu i stosuje dla układów nieortogonalnych błędną reprezentację tensora II rzędu w formie macierzy. Niemniej jednak w nieortogonalnych układach można przedstawić ów tensor prawidłowo, używając notacji macierzowej w taki sposób, aby mnożenie macierzy z wektorem prawidłowo odwzorowywało iloczyn wewnętrzny tensorów. Mianowicie:

• tensor z dwoma indeksami kowariantnymi (dolnymi) zapiszmy jako jednowierszową macierz której elementami są wektory wierszowe

$[T_{ij}]=[~~[T_{1j}]~~[T_{2j}]~~\dots ~~[T_{nj}]~~]=[~~[T_{11}~T_{12}~\dots ~T_{1n}]~~[T_{21}~T_{22}~\dots ~T_{2n}]~~\dots ~~[T_{n1}~T_{n2}~\dots ~T_{nn}]~~]$

nie należy mylić takiego indeksowania ze standardowym indeksowaniem macierzowym, bo choć mamy tutaj dwa indeksy dolne, to jednak lewy dolny indeks nie dotyczy numeru wiersza (gdyż macierz jest jednowierszowa).

Detale

Iloczyn wewnętrzny $T_{ij}\cdot v^{i}=P_{j}$ zwracający wektor kowariantny (wierszowy) zgadza się z wynikiem mnożenia macierzowego dla tak przyjętej postaci tensora (czyli wektor wierszowy którego elementem są wektory wierszowe) $T\cdot v=[T_{ij}]\cdot [v^{i}]=[T_{1j}]v^{1}+[T_{2j}]v^{2}+\ldots +[T_{nj}]v^{n}$ $={\begin{bmatrix}(v^{1}T_{11}+v^{2}T_{21}+\ldots +v^{n}T_{n1})&(v^{1}T_{12}+v^{2}T_{22}+\ldots +v^{n}T_{n2})&\dots &(v^{1}T_{1n}+v^{2}T_{2n}+\ldots +v^{n}T_{nn})\end{bmatrix}}=[P_{j}]$

• tensor mieszany zapiszmy jako macierz, w której wiersze odpowiadają indeksowi kowariantnemu (dolnemu), a kolumny odpowiadają indeksowi kontrawariantemu (górnemu)

$[T_{i}^{j}]={\begin{bmatrix}T_{1}^{1}&T_{2}^{1}&\dots &T_{n}^{1}\\T_{1}^{2}&T_{2}^{2}&\dots &T_{n}^{2}\\\vdots \\T_{1}^{n}&T_{2}^{n}&\dots &T_{n}^{n}\end{bmatrix}}$

nie należy tego indeksowania mylić z konwencjonalnym indeksowaniem macierzy, w którym lewy dolny indeks oznacza wiersz, a prawy dolny kolumnę – gdyż tutaj dolny oznacza kolumnę, górny oznacza wiersz, a prawy dolny w ogóle nie istnieje.

Detale

Tensor mieszany można przedstawić również na inne sposoby wektor kolumnowy którego elementy to wektory wierszowe $[T_{i}^{j}]={\begin{bmatrix}{[T_{i}^{1}]}\\{[T_{i}^{2}]}\\\vdots \\{[T_{i}^{n}]}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[T_{1}^{1}~T_{2}^{1}~\dots ~T_{n}^{1}]}\\{[T_{1}^{2}~T_{2}^{2}~\dots ~T_{n}^{2}]}\\\vdots \\{[T_{1}^{n}~T_{2}^{n}~\dots ~T_{n}^{n}]}\end{bmatrix}}$ wektor wierszowy którego elementy to wektory kolumnowe $[T_{i}^{j}]=[~~[T_{1}^{j}]~~[T_{2}^{j}]~~\dots ~~[T_{n}^{j}]~~]={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}T_{1}^{1}\\T_{1}^{2}\\\vdots \\T_{1}^{n}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}T_{2}^{1}\\T_{2}^{2}\\\vdots \\T_{2}^{n}\end{bmatrix}}&\dots &{\begin{bmatrix}T_{n}^{1}\\T_{n}^{2}\\\vdots \\T_{n}^{n}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}$ Jednak zwykle nie są one używane, gdyż zawierają nadmiarową informację (dotyczącej wierszowej/kolumnowej struktury elementów)

• tensor z dwoma indeksami kontrawariantnymi (górnymi) zapiszmy jako jednokolumnową macierz, której elementami są wektory kolumnowe

$[T^{ij}]={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}T^{11}\\T^{12}\\\vdots \\T^{1n}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}T^{21}\\T^{22}\\\vdots \\T^{2n}\end{bmatrix}}\\\vdots \\{\begin{bmatrix}T^{n1}\\T^{n2}\\\vdots \\T^{nn}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}$

Detale

Iloczyn wewnętrzny $T^{ij}\cdot v_{i}=v_{i}\cdot T^{ij}=P^{j}$ zwracający wektor kontrawariantny (kolumnowy) zgadza się z wynikiem mnożenia macierzowego (zauważmy, że aby je wykonać, musimy mnożyć przez wektor wierszowy z lewej strony) $v\cdot T=[v_{i}]\cdot [T^{ij}]=v_{1}\cdot [T^{1j}]+v_{2}\cdot [T^{2j}]+\ldots +v_{n}\cdot [T^{nj}]$ $={\begin{bmatrix}v_{1}T^{11}+v_{2}T^{21}+\ldots +v_{n}T^{n1}\\v_{1}T^{12}+v_{2}T^{22}+\ldots +v_{n}T^{n2}\\\vdots \\v_{1}T^{1n}+v_{2}T^{2n}+\ldots +v_{n}T^{nn}\end{bmatrix}}=[P^{j}]$

W podobny sposób można reprezentować tensory wyższych rzędów. Zwróćmy też uwagę, że iloczyn wewnętrzny tensorów zawiera w sobie operację kontrakcji, która zezwala na sumowanie tylko po indeksach o przeciwnej wariancji (co współgra z działaniem mnożenia macierzy, tj. macierz może być wymnożona tylko lewostronnie przez wektor wierszowy, a tylko prawostronnie przez wektor kolumnowy).

Przykłady

Tensor 2 rzędu

Dla wspomnianego wcześniej tensora metrycznego $\eta =[\eta _{ij}]$ i zastosowaniu powyższej notacji dostajemy

$\eta \cdot {\vec {v}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1&0&0\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&0&1&0\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

$=t{\begin{bmatrix}-1&0&0&0\end{bmatrix}}+x{\begin{bmatrix}0&1&0&0\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&0&1&0\end{bmatrix}}+z{\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-t&x&y&z\end{bmatrix}}$

jak widać teraz dostaliśmy oczekiwany wektor wierszowy.

Tensory wyższych rzędów

W ten sposób możemy zapisać tensory wyższych rzędów, zachowując informację o wariancji ich indeksów, np.

• dla symbol Christoffela drugiego rodzaju $\Gamma _{ij}^{k}$ postacią będzie macierz której elementami są wektory wierszowe

${\begin{bmatrix}[\Gamma _{00}^{0}~\Gamma _{01}^{0}~\Gamma _{02}^{0}~\Gamma _{03}^{0}]&[\Gamma _{10}^{0}~\Gamma _{11}^{0}~\Gamma _{12}^{0}~\Gamma _{13}^{0}]&[\Gamma _{20}^{0}~\Gamma _{21}^{0}~\Gamma _{22}^{0}~\Gamma _{23}^{0}]&[\Gamma _{30}^{0}~\Gamma _{31}^{0}~\Gamma _{32}^{0}~\Gamma _{33}^{0}]\\[][\Gamma _{00}^{1}~\Gamma _{01}^{1}~\Gamma _{02}^{1}~\Gamma _{03}^{1}]&[\Gamma _{10}^{1}~\Gamma _{11}^{1}~\Gamma _{12}^{1}~\Gamma _{13}^{1}]&[\Gamma _{20}^{1}~\Gamma _{21}^{1}~\Gamma _{22}^{1}~\Gamma _{23}^{1}]&[\Gamma _{30}^{1}~\Gamma _{31}^{1}~\Gamma _{32}^{1}~\Gamma _{33}^{1}]\\[][\Gamma _{00}^{2}~\Gamma _{01}^{2}~\Gamma _{02}^{2}~\Gamma _{03}^{2}]&[\Gamma _{10}^{2}~\Gamma _{11}^{2}~\Gamma _{12}^{2}~\Gamma _{13}^{2}]&[\Gamma _{20}^{2}~\Gamma _{21}^{2}~\Gamma _{22}^{2}~\Gamma _{23}^{2}]&[\Gamma _{30}^{2}~\Gamma _{31}^{2}~\Gamma _{32}^{2}~\Gamma _{33}^{2}]\\[][\Gamma _{00}^{3}~\Gamma _{01}^{3}~\Gamma _{02}^{3}~\Gamma _{03}^{3}]&[\Gamma _{10}^{3}~\Gamma _{11}^{3}~\Gamma _{12}^{3}~\Gamma _{13}^{3}]&[\Gamma _{20}^{3}~\Gamma _{21}^{3}~\Gamma _{22}^{3}~\Gamma _{23}^{3}]&[\Gamma _{30}^{3}~\Gamma _{31}^{3}~\Gamma _{32}^{3}~\Gamma _{33}^{3}]\end{bmatrix}}$

• dla symbolu Leviego-Civity $\epsilon _{ijk}$ postacią będzie wektor wierszowy, którego elementy to wektory wierszowe, których elementami są wektory wierszowe

$\epsilon _{ijk}=[~~~~[[0,0,0],[0,0,1],[0,-1,0]],~~~~[[0,0,-1],[0,0,0],[1,0,0]],~~~~[[0,1,0],[-1,0,0],[0,0,0]]~~~~]$