Nierówność Gronwalla

Nierówność Gronwalla – jedna z podstawowych nierówności stosowanych w teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana jest m.in. w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy przez szwedzkiego matematyka, T.H. Grönwalla, w 1918.

Nierówność Gronwalla

Niech $(a,b)$ będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech $t_{0}\in (a,b).$ Niech ponadto $\alpha ,\beta ,u$ będą funkcjami ciągłymi określonymi na $(a,b)$ o wartościach w $R_{+}.$ Jeżeli dla każdego $t\in (a,b)$ zachodzi nierówność

$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s\right|,$

to dla każdego $t\in (a,b)$ zachodzi również

$u(t)\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.$

Dowód

Poniższy dowód pochodzi od J. A. Oguntuase.

Niech

$v(t)=\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s){\mbox{d}}s.$

Wówczas

$v'(t)=\beta (t)u(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,{\mbox{d}}s\right|=\alpha (t)\beta (t)+\beta (t)\cdot \operatorname {sgn}(t-t_{0})v(t).$

Ponadto, niech

$\gamma (t)=e^{-\int _{t_{0}}^{t}\operatorname {sgn}(s-t_{0})\beta (s)\,\mathrm {d} s}.$

Mnożąc otrzymaną nierówność stronami przez $\gamma (t)$ otrzymujemy

$\gamma (t)v'(t)\leqslant \alpha (t)\beta (t)\gamma (t)-v(t)\gamma '(t).$

Ostatecznie,

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}(\gamma (t)v(t))-\alpha (t)\beta (t)\gamma (t)\leqslant 0.$

Wynika z powyższego, iż

$\operatorname {sgn}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma (s)v(s))-\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,\mathrm {d} s\leqslant 0.$

Czyli

$\operatorname {sgn}(t-t_{0})\gamma (t)v(t)\leqslant \operatorname {sgn}(t-t_{0})\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)\gamma (s)\,{\mbox{d}}s.$

Ostatecznie,

${\begin{aligned}u(t)&\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s\right|\\&=\alpha (t)+\operatorname {sgn}(t-t_{0})v(t)\\&\leqslant \alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s){\frac {\gamma (s)}{\gamma (t)}}\,{\mbox{d}}s\right|\\&=\alpha (t)+\left|\int _{t_{0}}^{t}\alpha (s)\beta (s)e^{\left|\int _{s}^{t}\beta (\xi )\,\mathrm {d} \xi \right|}\,{\mbox{d}}s\right|.\end{aligned}}$

Postać różniczkowa nierówności

Niech $I=[a,b]$ będzie odcinkiem na prostej rzeczywistej przy $a<b.$ Niech $\beta$ i $u$ będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na odcinku $I.$ Jeżeli $u$ jest funkcją różniczkowalną na wnętrzu ${\text{int}}\,I=(a,b)$ oraz zachodzi szacowanie $u'(t)\leqslant \beta (t)u(t)$ dla wszystkich $t\in (a,b),$ to zachodzi nierówność $u(t)\leqslant u(a)\cdot \exp \left(\int _{a}^{t}\beta (s)\mathrm {d} s\right)$ dla wszystkich $t\in I=[a,b].$