Nierówność wariacyjna

Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana.

Definicja formalna

Dla danej przestrzeni Banacha $E,$ oraz jej podzbioru $K$ i funkcjonału $F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{*}$ z $K$ do przestrzeni dualnej $E^{*}$ do przestrzeni $E,$ nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej $x$ przebiegającej zbiór $K$ następującej nierówności:

$\langle F(x),y-x\rangle \geqslant 0\qquad \forall _{y\in {\boldsymbol {K}}}$

gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\boldsymbol {E}}^{*}\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R}$ jest dualnością wyrażającą się wzorem $\langle x,x^{*}\rangle =x^{*}(x),$ gdzie $x\in E,x^{*}\in E^{*}.$

Przykłady

Minimum funkcji na przedziale

Niech $F\colon I\to \mathbb {R}$ będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie $I=[a;b]\subset \mathbb {R} .$ Jeśli chcemy znaleźć punkt $x_{0}\in I,$ w którym

$f(x_{0})=\min _{x\in I}f(x).$

Możliwe są wtedy trzy przypadki:

• $a<x_{0}<b$ i wtedy $f'(x_{0})=0,$
• $x_{0}=a$ i wtedy $f'(x_{0})\geqslant 0,$
• $x_{0}=b$ i wtedy $f'(x_{0})\leqslant 0.$

Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej:

$f'(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in I}.$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.

Minimum funkcji na zbiorze wypukłym

Niech $F\colon K\to \mathbb {R}$ będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze $K\subset \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {Z} _{+}.$ Ponadto niech $x_{0}\in K$ będzie takim punktem, że

$f(x_{0})=\min _{x\in K}f(x).$

Ponieważ zbiór $K$ jest wypukły, więc odcinek

$\{(1-t)x_{0}+tx:0\leqslant t\leqslant 1\}$

leży w zbiorze $K$ i można rozpatrzeć funkcję

$\Phi (t)=f(x_{0}+t(x-x_{0})),$ gdzie $0\leqslant t\leqslant 1.$

Osiąga ona minimum dla $t=0$ i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że

$\Phi '(t)=\operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}$

Zatem punkt $x_{0}\in K$ spełnia nierówność:

$\operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}.$

Jeśli zbiór $K$ jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru $K.$

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.

Badanie membrany

Niech $\Omega \subset \mathbb {R} ^{N}$ będzie obszarem o brzegu $\partial \Omega$ i niech $\psi \colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ,$ gdzie ${\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega ,$ będzie taką funkcją, że

$\operatorname {\max } _{\Omega }\psi \geqslant 0$ i $\psi \leqslant 0$

na $\partial \Omega .$

Niech

$K=\{\upsilon \in {\mathcal {C}}^{1}({\overline {\Omega }}):\upsilon \geqslant \psi {\text{ na }}\Omega {\text{ i }}\upsilon =0{\text{ na }}\partial \Omega \}$

Zbiór $K$ jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji $\psi$ jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję $u\in K,$ dla której

$\int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u|^{2}dx=\min _{\upsilon \in K}\int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} \upsilon |^{2}dx.$

Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej

$\int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u\operatorname {grad} (\upsilon -u)dx$

dla każdego $\upsilon \in K.$