Obszar normalny

Obszar (w $\mathbb {R} ^{2}$) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych, który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.

Zbiór $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ jest obszarem normalnym względem osi OX, jeśli

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\;a\leqslant x\leqslant b;\;f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\},$

gdzie $f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ są funkcjami ciągłymi, $a<b.$

Proste $x=a$ i $x=b$ ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe $y=g(x)$ i $y=f(x)$ odpowiednio od góry i dołu.

Pole obszaru normalnego

Pole $|D|$ obszaru normalnego $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dane jest wzorem

$|D|=\int \limits _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x$

Dowód:

$f(x)$ jest ciągła w przedziale $[a,b],$ zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstrassa, więc $\forall x\in [a,b]$ zachodzi $f(x)>m$ dla pewnego $m\in \mathbb {R} .$

Jeżeli $m<0$ to przesuwamy obszar $D$ o wektor $[0,-m].$

Otrzymany obszar $D'=D$ bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izometrią.

Oznaczmy $f_{1}(x)=f(x)+m$ i $g_{1}(x)=g(x)+m.$

Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:

$|D|=\int \limits _{a}^{b}f_{1}(x)\mathrm {d} x-\int \limits _{a}^{b}g_{1}(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f_{1}(x)-g_{1}(x))\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm {d} x,$

ponieważ $f_{1}(x)$ i $g_{1}(x)$ różnią się od $f_{1}(x)$ i $g_{1}(x)$ tylko o stałą.

q.e.d.

Obszar normalny w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny $V'\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ oraz funkcje ograniczone i ciągłe $f,g\colon V'\to \mathbb {R} ,\ f\leqslant g,$ takie, że:

$V=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x,y)\in V'\;z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.$

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.