Problem Dirichleta

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.

Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końcaEdytuj

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

 
 
 

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

 

Chcemy ponadto

 

Podstawiając

 

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,

 

gdzie:

 

Spełnia go np. funkcja złożona

 

z   więc w ogólności

 

gdzie   jest funkcją periodyczną z okresem  

 

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

 

Zobacz teżEdytuj