Przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym

pojęcie z zakresu matematyki

W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały

ciągłe, tzn. dla każdego istnieje taka stała że

gdzie stała nie zależy of wyboru funkcji

Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje oraz w przestrzeni Hilberta „leżą blisko siebie” w normie, tzn. jest małe, to oraz są również „punktowo bliskie”, tj. jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa.

Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego istnieje takie że

dla każdej funkcji

Funkcję określoną w następujący sposób:

nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi

dla każdych [1].

Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.

Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu w punkcie nie ma sensu.

Przykłady

edytuj

Przestrzeń Hilberta   lub   z naturalnym iloczynem skalarnym

 

dla  

może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze   o wartościach w   lub   odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące

 

gdzie:

 

Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń   składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze   Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli   jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w   to jądro Bergmana przestrzeni   wyraża się wzorem

 [1].

Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe[2][3].

Przypisy

edytuj
  1. a b Franciszek Hugon. Szafraniec, Przestrzenie Hilberta z jądrem reprodukującym, Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, 2004, ISBN 83-233-1958-8, OCLC 749566558 [dostęp 2022-03-22].
  2. Zbigniew Pasternak-Winiarski, On weights which admit the reproducing kernel of Bergman type, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1992, OCLC 809391320 [dostęp 2022-03-22].
  3. T.Ł. Żynda, On Weights Which Admit Reproducing Kernel of Szegő Type, „Journal of Contemporary Mathematical Analysis (Armenian Academy of Sciences)”, 55 (5), 2020, s. 320–327, DOI10.3103/s1068362320050064, ISSN 1068-3623 [dostęp 2022-03-22].