Równanie funkcyjne Cauchy’ego

Równanie funkcyjne Cauchy’ego to równanie funkcyjne zadane wzorem:

$f(x+y)=f(x)+f(y).$

Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy addytywną. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze liczb wymiernych są tylko funkcje liniowe postaci $f(x)=cf(x),$ dla pewnej liczby wymiernej $c.$ W zbiorze liczb rzeczywistych dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z aksjomatu wyboru. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków:

• funkcja $f$ jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła w przynajmniej jednym punkcie,
• funkcja $f$ jest ograniczona w pewnym przedziale,
• funkcja $f$ jest monotoniczna w pewnym przedziale.

Rozwiązania w liczbach wymiernych

Twierdzenie: Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.

Dowód: Wstawiając do równania $x=y=0$ otrzymujemy, że $f(0)=f(0)+f(0),$ skąd wynika $f(0)=0.$ Zatem $f(-q)=-f(q),$ bowiem $0=f(0)=f(q+(-q))=f(q)+f(-q).$

Dla $n\in \mathbb {N} ,\ q\in \mathbb {Q}$ zachodzi $f(nq)=f(q+(n-1)q)=f(q)+f((n-1)q)=f(q)+f(q+(n-2)q)=f(q)+f(q)+f((n-2)q)=\ldots =n\cdot f(q),$

co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje $f(mq)=m\cdot f(q)$ dla $m\in \mathbb {Z} .$ Wstawiając ${\frac {q}{n}}$ w miejsce $q$ otrzymujemy równość $f(q)=f\left(n\cdot {\frac {q}{n}}\right)=nf\left({\frac {q}{n}}\right),$ z której wynika $f\left({\frac {q}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(q).$

W takim razie, oznaczając $q={\frac {m}{n}}$ dla $m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N}$ oraz po podstawieniu $f(1)=c,$ otrzymujemy tezę, bowiem $f(q)=f\left({\frac {m}{n}}\right)=f\left({\frac {1}{n}}\cdot m\right)={\frac {1}{n}}f(m)={\frac {m}{n}}f(1)=qc.\ \square$.

Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych

Ciągłość

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Niech $x_{0}$ będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji $f,$ które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego $x_{1}\in \mathbb {R}$ zachodzi

$f(x_{1}+x)=f(x_{0}+x+x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0}).$

Gdy $x\to 0^{+},$ to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa

$\lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{1}+x)=\lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0})+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x_{1}-x_{0})=f(x_{1}).$

Funkcja $f$ jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego $x\in \mathbb {R}$ zachodzi

$f(x)=\lim _{q\to x^{+}}f(q)=\lim _{q\to x^{+}}cq=cx,$

gdzie liczby $q\in \mathbb {Q} ,$ a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że $f(q)=cq.$ Funkcja $f$ jest więc ciągła. $\square$

Ograniczoność

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.

Dowód: Niech funkcja $f$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale $[a,b],$ gdzie $a<b.$ Funkcja $f$ jest w takim razie ograniczona również w przedziale $[0,b-a],$ bowiem $f(x)=f(a+x)-f(a),$ a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie $|f(x)|\leqslant K.$ Dla $x\in [0,b-a]$ zachodzi zatem

$|f(x)|={\frac {\left|f\left(\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor \cdot x\right)\right|}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}\leqslant {\frac {K}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}.$

Przy $x\to 0^{+}$ prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=0,$ ale z drugiej strony $f(0)=0,$ więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową. $\square$

Monotoniczność

Twierdzenie: Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale $[a,b]$ jest w nim ograniczona przez $f(a)$ i $f(b).$ $\square$

Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych

Twierdzenie: W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.

Dowód: Rozpatrzmy przestrzeń wektorową $\mathbb {R} (\mathbb {Q} ).$ Z równoważnego aksjomatowi wyboru lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę ${\mathcal {B}}=\{x_{i}\}_{i\in I}.$ Każdą liczbę rzeczywistą $x$ można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę $x=\sum _{i\in I}x_{i}\lambda _{i},$ gdzie $\lambda _{i}$ są skalarami z ciała $\mathbb {Q}$ i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji $f$ na wektorach bazowych i określić wzór $f$ następująco:

$f(x)=f\left(\sum _{i\in I}x_{i}\lambda _{i}\right)=\sum _{i\in I}f(x_{i})\lambda _{i}.$

Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe. Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych $x=\sum _{i\in I}x_{i}p_{i},\ y=\sum _{i\in I}x_{i}q_{i}$ zachodzi $x+y=\sum _{i\in I}x_{i}(p_{i}+q_{i}),$ a także

$f(x)+f(y)=\sum _{i\in I}f(x_{i})p_{i}+\sum _{i\in I}f(x_{i})q_{i}=\sum _{i\in I}f(x_{i})(p_{i}+q_{i})=f(x+y).$

Tak określona funkcja $f$ jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie ${\frac {f(x_{i})}{x_{i}}}$ ma stałą wartość dla każdego $x_{i}\in {\mathcal {B}}.$ Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony. $\square$

Własności nieliniowych rozwiązań

Twierdzenie: Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest gęsty w $\mathbb {R} ^{2}.$

Dowód: Bez straty ogólności załóżmy, że $f(1)=1$ (jeśli $f(1)\neq 1$ i $f(1)\neq 0,$ to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie $f(q)=q$ dla $q\in \mathbb {Q} .$ Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie $\alpha \in \mathbb {R} ,$ że $f(\alpha )\neq \alpha ,$ czyli $f(\alpha )=\alpha +\delta ,$ dla pewnego $\delta \neq 0.$ Weźmy dowolne koło o środku w punkcie $(x,y)$ i promieniu $r,$ gdzie $x,y,r\in \mathbb {Q}$ (jest to wystarczające, ponieważ $\mathbb {Q} ^{2}$ jest gęste w $\mathbb {R} ^{2}$). Niech $\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$ i $b\neq 0$ będzie taką liczbą wymierną, że $|\beta -b|<{\frac {r}{3|\delta |}}.$ Ponadto niech $a$ będzie taką liczbą wymierną, że $|\alpha -a|<{\frac {r}{3|b|}}.$ Weźmy $X=x+b(\alpha -a).$ Wtedy:

$Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))=x+bf(\alpha )-bf(a)=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ab=y+b(\alpha -a)+\delta (b-\beta )$

$(Y-y)^{2}+(X-x^{2})={\big (}b(\alpha -a)+\delta (b-\beta ){\big )}^{2}+{\big (}b(\alpha -a){\big )}^{2}<\left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}={\frac {5}{9}}r^{2}<r^{2}.$

Punkt $(X,Y)$ należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.

Dla $f(1)=0$ dowód wygląda podobnie.

Oznaczamy $f(\alpha )=\delta \neq 0,\ \beta ={\frac {y}{\delta }}$ oraz dobieramy $a,b\in \mathbb {Q}$ w ten sposób, aby spełniały $|\beta -b|<{\frac {r}{3|\delta |}},\ |\alpha -a|<{\frac {r}{3|b|}}.$

Podstawiając $X=x+b(\alpha -a)$ otrzymujemy $Y=f(X)=b\delta .$ Zatem

$(Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b\delta -\beta \delta )^{2}+(b(\alpha -a))^{2}<{\frac {r^{2}}{9}}+{\frac {r^{2}}{9}}<r^{2}.$

W takim razie punkt $(X,Y)$ należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy $f(1)=0.\ \square$