Twierdzenie Sturma

Twierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques’a Charles’a François Sturma. Jest to uogólnienie reguły znaków Kartezjusza, szacującej liczbę pierwiastków głównie wśród liczb dodatnich, ujemnych i w innych przedziałach otwartych (nieskończonych).

Ciągi Sturma

Dla danego wielomianu

$f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}$

Ciąg Sturma (wielomianu $f$) określony jest wzorami:

${\begin{aligned}X_{0}&=X\\X_{1}&=X'\\X_{2}&=-\mathrm {rem} (X_{0},X_{1})\\X_{3}&=-\mathrm {rem} (X_{1},X_{2})\\&\;\;\vdots \\X_{r+1}&=-\mathrm {rem} (X_{r-1},X_{r}),\end{aligned}}$

gdzie $\operatorname {rem} (X,Y)$ oznacza resztę z dzielenia wielomianu $X$ przez $Y$ oraz $r$ jest taką liczbą naturalną, że $X_{r+1}=0.$

Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu $w$ jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów $X_{r}$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu $X$ oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to $X_{r}$ jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma

Niech $w(\xi )$ będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

$X_{0}(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\dots ,X_{r}(\xi ).$

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $a<b$ które nie są pierwiastkami wielomianu $X$ liczba różnych pierwiastków wielomianu w przedziale $[a,b]$ jest równa

$|w(a)-w(b)|.$

Zastosowania

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę $M,$ że wszystkie pierwiastki wielomianu $X$ leżą w przedziale $[-M,M];$ za taką liczbę można wziąć np.

$M=\max\{1,\sum |a_{i}|\}.$

Linki zewnętrzne

• MaciejM. Bryński MaciejM., Twierdzenie Sturma, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, luty 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-18]  (pol.).
• Przemysław Koprowski, Twierdzenie Sturma, kanał autorski na YouTube, 7 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sturm Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Sturm theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].