Otwórz menu główne

Twierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques’a Charles’a François Sturma.

Ciągi SturmaEdytuj

Dla danego wielomianu

 

Ciąg Sturma (wielomianu  ) określony jest wzorami:

 

gdzie   oznacza resztę z dzielenia wielomianu   przez   oraz   jest taką liczbą naturalną, że  

Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu   jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów   jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu   oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to   jest funkcją stałą.

Twierdzenie SturmaEdytuj

Niech   będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

 

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych   które nie są pierwiastkami wielomianu   liczba różnych pierwiastków wielomianu w przedziale   jest równa

 

ZastosowaniaEdytuj

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę   że wszystkie pierwiastki wielomianu   leżą w przedziale   za taką liczbę można wziąć np.