Złożony proces Poissona

Złożony proces Poissona – proces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą.

Definicja

Złożony proces Poissona $\{X_{t}\}_{t\geqslant 0}$ zadany parametrem $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ dla dowolnego $t\geqslant 0$ postać:

$X_{t}=\sum _{i=1}^{N_{t}}Y_{i},$

gdzie:

• $\{N_{t}\}_{t\geqslant 0}$ jest procesem Poissona o parametrze $\lambda ,$
• $Y_{1},Y_{2},\dots$ są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie,
• zmienne $Y_{1},Y_{2},\dots$ są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności

Jeżeli $\{X_{t}\}_{t\geqslant 0}$ jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

• dla każdego $\omega$ funkcja $t\mapsto X_{t}(\omega )$ jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
• wartość oczekiwana w chwili $t$ wynosi: $EX_{t}=\lambda tEY_{1},$
• wariancja w chwili $t$ wynosi: $D^{2}X_{t}=\lambda tE(Y_{1}^{2}),$
• funkcja charakterystyczna w chwili $t$ wynosi:

$\phi _{X_{t}}(u)=\exp \left(\lambda tE(e^{iuY_{1}}-1)\right).$

Związek z procesem Lévy’ego

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy’ego. Ponadto jeżeli proces Lévy’ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.