Złożony proces Poissona

Złożony proces Poissonaproces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą[1].

DefinicjaEdytuj

Złożony proces Poissona   zadany parametrem   dla dowolnego   postać:

 

gdzie:

  •   jest procesem Poissona o parametrze  
  •   są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie,
  • zmienne   są również niezależne z danym procesem Poissona.

WłasnościEdytuj

Jeżeli   jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

  • dla każdego   funkcja   jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
  • wartość oczekiwana w chwili   wynosi:  
  • wariancja w chwili   wynosi:  
  • funkcja charakterystyczna w chwili   wynosi:
 

Związek z procesem Lévy’egoEdytuj

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy’ego. Ponadto jeżeli proces Lévy’ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.

PrzypisyEdytuj

  1. R. Cont, P. Tankov, Financial Modelling With Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, CRC Press Company, 2004.