Zbiór wewnętrzny

pojęcie logiki matematycznej

Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.

Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych Ciało zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).

Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.

Zbiory wewnętrzne w konstrukcji ultrapotęgowej

edytuj
Zobacz też: ultrapotęgaultrafiltr.

Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów   zbiór wewnętrzny   w   jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych   gdzie o liczbie hiperrzeczywistej   mówi się, że należy do zbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów   dla których   jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji  

Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element   jest wewnętrzny; podzbiór   jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia   czyli zbioru potęgowego   liczb rzeczywistych   itd.

Podzbiory wewnętrzne liczb rzeczywistych

edytuj

Każdy podzbiór wewnętrzny   jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementów[1]). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Twierdzenie 3.9.1 (Goldblatt, 1998).

Bibliografia

edytuj