Defekt przekształcenia liniowego

Defekt przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej, dla danego przekształcenia liniowego

$T\colon V\to W$

między przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem, wymiar jądra T, tj.

$\dim \ker T$.

Defekt przekształcenia liniowego T bywa oznaczany symbolem def T.

Przykłady

• Defekt zerowego przekształcenia liniowego określego na n-wymiarowej przestrzeni liniowej wynosi n.
• Defekt przekształcenia identycznościowego na dowolnej przestrzeni liniowej wynosi 0.
• Niech

$T\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$

będzie przekształceniem liniowym danym wzorem

$T(x,y,z,t)=(x+y-3z-t,3x-y-3z+4t,0,0)\quad (x,y,z,t\in \mathbb {R} ).$

Defekt przekształcenia T wynosi 2.

Defekt a rząd przekształcenia liniowego

Twierdzenie o rzędzie orzeka, że wymiar dziedziny przekształcenia liniowego T jest równy sumie defektu T oraz rzędu T, tj.

$\dim V=\mathrm {def} \,T+\dim \mathrm {im} \,T,$

gdzie $\mathrm {im} \,T$ oznacza obraz przekształcenia T.

Bibliografia

• C.Y.C.Y. Hsiung C.Y.C.Y., G.Y.G.Y. Mao G.Y.G.Y., Linear algebra, Singapore: World Scientific, 1998, ISBN 981-02-3092-3 .