Grupa Heisenberga

Grupa Heisenberga – grupa macierzy trójkątnych górnych $3\times 3$ postaci ${\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}$ z działaniem mnożenia macierzy, elementy $x,y,z$ należą do dowolnego pierścienia przemiennego z jednością. Zazwyczaj przyjmowany jest pierścień liczb rzeczywistych lub liczb naturalnych. Nazwa pochodzi od imienia fizyka teoretycznego Wernera Heisenberga.

Wynik mnożenia dwóch macierzy ma postać: ${\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}$$\cdot$ ${\begin{bmatrix}1&x'&y'\\0&1&z'\\0&0&1\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}1&x+x'&y+y'+xz'\\0&1&z+z'\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Elementem neutralnym grupy Heisenberga jest macierz jednostkowa, a elementem odwrotnym jest ${\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-x&xz-y\\0&1&-z\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Grupa ta jest izomorficzna ze zbiorem trójek $(x,y,z),$ w którym definiuje się działanie $\odot {:}$

$(x,y,z)\odot (x',y',z')=(x+x',y+y'+xz',z+z'),$

elementem neutralnym jest:

$(0,0,0)$

oraz

$(x,y,z)^{-1}=(-x,-y+xz,-z).$

Dyskretna grupa Heisenberga

Jeśli elementy macierzy $x,y,z$ są liczbami całkowitymi, to grupę Heisenberga określa się jako dyskretną grupę Heisenberga i oznacza się $H_{3}(Z).$

Jest to nieabelowa grupa nilpotentna, która ma dwa generatory, $a={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Zachodzące w niej następujące zależności

$c=aba^{-1}b^{-1},\ ac=ca,\ bc=cb,$

gdzie $c={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$ jest generatorem Centrum grupy $H_{3}.$

Bibliografia

• http://www.math.columbia.edu/~woit/notes20.pdf