Hipocykloida

Hipocykloida – krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu. Krzywa ta jest szczególnym przypadkiem hipotrochoidy.

Kształt hipocykloidy (liczba ostrzy) zależy od ilorazu ${\tfrac {R}{r}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się.

Opis matematyczny

Hipocykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

$x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right),$

$y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).$

Przykłady

Asteroida jako ewoluta elipsy

Poniższe rysunki pokazują kilka hipocykloid dla różnych wartości ilorazów ${\tfrac {R}{r}}$

• hipocykloida ${\tfrac {R}{r}}=3$ (zwana też deltoidą) – powstawanie i krzywa statycznie:

• hipocykloida ${\tfrac {R}{r}}=4$ (zwana też asteroidą) – powstawanie i krzywa statycznie:

• dla ${\tfrac {R}{r}}=2$ hipocykloida redukuje się do średnicy dużego okręgu – fakt ten jest znany jako twierdzenie Kopernika i może być wykorzystany do zamiany ruchu obrotowego na posuwisto-zwrotny:

Jeżeli stosunek ${\tfrac {R}{r}}$ jest liczbą niewymierną, hipocykloida jest linią otwartą, a zbiór jej wierzchołków jest gęstym podzbiorem okręgu. Poniższe rysunki przedstawiają taką sytuację z tym, że parametr $t$ przebiega skończony przedział, [−10, 100] oraz [−10, 1000]:

Zobacz też

• cykloida
• epicykloida
• lista krzywych

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).