Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera ). Taka interpolacja daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych [1]
Przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku najlepszym rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera .
Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1]
Założeniem każdej interpolacji jest spełnienie warunków:
f
(
x
k
)
=
y
k
k
=
0
,
1
,
…
,
(
n
−
1
)
{\displaystyle f(x_{k})=y_{k}\,\quad k=0,1,\dots ,(n-1)}
x
k
=
k
⋅
2
π
n
k
=
0
,
1
,
…
,
(
n
−
1
)
.
{\displaystyle x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{n}}\quad k=0,1,\dots ,(n-1).}
Wtedy:
Dla nieparzystej ilości
n
{\displaystyle n}
m
=
n
−
1
2
,
{\displaystyle m={\frac {n-1}{2}},}
Θ
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
k
=
1
m
[
A
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
)
+
B
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
)
]
.
{\displaystyle \Theta (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)].}
Dla parzystej ilości
n
{\displaystyle n}
m
=
n
2
,
{\displaystyle m={\frac {n}{2}},}
Θ
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
k
=
1
m
−
1
[
A
k
⋅
cos
(
k
⋅
x
)
+
B
k
⋅
sin
(
k
⋅
x
)
]
+
A
m
2
⋅
cos
(
m
⋅
x
)
.
{\displaystyle \Theta (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x).}
Dla obu powyższych przypadków:
A
j
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
[
f
(
x
k
)
⋅
cos
(
j
⋅
x
k
)
]
,
{\displaystyle A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})],}
B
j
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
[
f
(
x
k
)
⋅
sin
(
j
⋅
x
k
)
]
.
{\displaystyle B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})].}
Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca
Θ
(
x
)
{\displaystyle \Theta (x)}
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:
k
0
1
2
3
f
k
1
3
−
2
−
1
.
{\displaystyle {\begin{array}{|c||cccc|}k&0&1&2&3\\f_{k}&1&3&-2&-1\end{array}}.}
Ilość punktów interpolowanych:
n
=
4
{\displaystyle n=4}
Stopień:
m
=
n
2
=
2
{\displaystyle m={\frac {n}{2}}=2}
x
k
=
k
⋅
2
π
4
⇒
x
k
=
{
0
,
π
2
,
π
,
3
2
π
}
{\displaystyle x_{k}=k\cdot {\frac {2\pi }{4}}\Rightarrow x_{k}=\left\{0,\ {\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3}{2}}\pi \right\}}
A
0
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
cos
(
0
⋅
x
k
)
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
0
⋅
x
k
)
=
1
2
(
1
⋅
1
+
3
⋅
1
−
2
⋅
1
−
1
⋅
1
)
=
1
2
{\displaystyle A_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \cos(0\cdot x_{k})={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(0\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)={\frac {1}{2}}}
A
1
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
1
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
cos
(
0
)
+
3
⋅
cos
(
π
2
)
−
2
⋅
cos
(
π
)
−
1
⋅
cos
(
3
2
π
)
]
=
3
2
{\displaystyle A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(1\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}\left[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos \left({\frac {3}{2}}\pi \right)\right]={\frac {3}{2}}}
A
2
=
2
4
∑
k
=
0
3
f
k
⋅
cos
(
2
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
cos
(
0
)
+
3
⋅
cos
(
π
)
−
2
⋅
cos
(
2
π
)
−
1
⋅
cos
(
3
π
)
]
=
−
3
2
{\displaystyle A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(2\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}}
B
0
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
0
⋅
x
k
)
=
0
{\displaystyle B_{0}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(0\cdot x_{k})=0}
B
1
=
2
4
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
1
⋅
x
k
)
=
1
2
[
1
⋅
0
+
3
⋅
1
−
2
⋅
0
−
1
⋅
(
−
1
)
]
=
2
{\displaystyle B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(1\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2}
B
2
=
2
n
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
⋅
sin
(
2
⋅
x
k
)
=
0
{\displaystyle B_{2}={\frac {2}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(2\cdot x_{k})=0}
Θ
(
x
)
=
1
4
+
A
1
⋅
cos
(
x
)
+
B
1
⋅
sin
(
x
)
+
A
2
2
⋅
cos
(
2
x
)
=
1
4
+
3
2
cos
(
x
)
+
2
sin
(
x
)
−
3
4
cos
(
2
x
)
{\displaystyle \Theta (x)={\frac {1}{4}}+A_{1}\cdot \cos(x)+B_{1}\cdot \sin(x)+{\frac {A_{2}}{2}}\cdot \cos(2x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{2}}\cos(x)+2\sin(x)-{\frac {3}{4}}\cos(2x)}
Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej . Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:
p
(
x
)
=
∑
m
=
−
n
n
c
m
e
i
m
x
,
{\displaystyle p(x)=\sum _{m=-n}^{n}c_{m}e^{imx},}
gdzie i jest wielkością urojoną . Jeśli założymy, że
z
=
e
i
x
,
{\displaystyle z=e^{ix},}
p
(
z
)
=
∑
m
=
−
n
n
c
m
z
m
.
{\displaystyle p(z)=\sum _{m=-n}^{n}c_{m}z^{m}.}
Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym . Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2]
![{\displaystyle \Theta (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d00aafeedbd13dd900f40fa71eb334962d88d5)
![{\displaystyle \Theta (x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{m-1}[A_{k}\cdot \cos(k\cdot x)+B_{k}\cdot \sin(k\cdot x)]+{\frac {A_{m}}{2}}\cdot \cos(m\cdot x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae58e574b62eebe1242bc519efd093317cf7e5a3)
![{\displaystyle A_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \cos(j\cdot x_{k})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef390399bc7f9d69bb0127cb5e48a8064222f379)
![{\displaystyle B_{j}={\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}[f(x_{k})\cdot \sin(j\cdot x_{k})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47dc5c92ea673e075e6412c127ebe196cb96793a)
![{\displaystyle A_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(1\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}\left[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)-2\cdot \cos(\pi )-1\cdot \cos \left({\frac {3}{2}}\pi \right)\right]={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bb6408523b921114c2f2137e338827def902c1)
![{\displaystyle A_{2}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{3}f_{k}\cdot \cos(2\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi )-2\cdot \cos(2\pi )-1\cdot \cos(3\pi )]=-{\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a35fe44f83c03388cd4b3856ee1031001b2cb4)
![{\displaystyle B_{1}={\frac {2}{4}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}f_{k}\cdot \sin(1\cdot x_{k})={\frac {1}{2}}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592f508d46390f9f4672686c09e011b0f04de2e6)
