Interpolacja trygonometryczna

termin matematyczny

Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Taka interpolacja daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, pozbawionych okresowości, powodują duże błędy interpolacji.

Przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku najlepszym rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.

Metoda ogólnaEdytuj

Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1].

Założeniem każdej interpolacji jest spełnienie warunków:   gdzie:

 

Wtedy:

  • Dla nieparzystej ilości   punktów węzłowych:
 
 
  • Dla parzystej ilości   punktów węzłowych:
 
 
  • Dla obu powyższych przypadków:
 
 

PrzykładEdytuj

 
Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca   przez nie przechodząca
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:
 

RozwiązanieEdytuj

Ilość punktów interpolowanych:   (parzyste)
Stopień:  
 
 
 
 
 
 
 

OdpowiedźEdytuj

 

Wielomian zespolonyEdytuj

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

 

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że   wtedy

 

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Interpolacja Trygonometryczna i Szybka Transformata Fouriera. Uniwersytet Warszawski. [dostęp 2011-04-01].
  2. Interpolation using Fourier Polynomials (ang.). [dostęp 2011-03-26]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-11)].