k-przestrzeń

k-przestrzeń – przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950 David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią – odpowiedni kontrprzykład podał Clifford Hugh Dowker.

Własności

• Przestrzeń Hausdorffa $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie $A$ z każdym zwartym podzbiorem $X$ było domknięte (lub równoważnie – zwarte).
• Przestrzeń Hausdorffa $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru $A\subseteq X$ potrzeba i wystarcza, aby przecięcie $A$ z każdym zwartym podzbiorem $X$ było otwarte.
• Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
• Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
• Suma $\bigoplus _{s\in S}X_{s}$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $X_{s}$ jest k-przestrzenią dla każdego $s\in S.$
• Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzenia

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii $\tau$ nazywamy rodzinę podzbiorów $U$ zbioru $X$ takich, że $U\cap K\in \tau$ dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X.$ Rodzina $k(\tau )$ jest również topologią w zbiorze $X.$ Przestrzeń $X$ z topologią $k(\tau )$ oznacza się symbolem $kX$ i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni $X.$ W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

• topologia $k(\tau )$ jest mocniejsza od wyjściowej topologii $\tau ,$
• $kkX=kX$ (zob. idempotentność),
• Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $kX=X$.

k-ciągłość

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję $f\colon X\to Y$ nazywamy k-ciągłą, gdy $f|_{K}$ jest ciągła dla każdego zbioru zwartego $K\subseteq X.$ Jeśli symbole $C(X,Y)$ i $C_{k}(X,Y)$ oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami $X$ i $Y,$ to

• $X$ jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy $C(X,Y)=C_{k}(X,Y)$ dla każdej przestrzeni topologicznej $Y$.

Przykłady

• $\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \}$ (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k₃-przestrzenie

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest k₃-przestrzenią, gdy $C(X,Y)=C_{k}(X,Y)$ dla każdej przestrzeni regularnej $Y.$ Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k₃-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k₃-przestrzenią.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 198–200.