Otwórz menu główne

k-przestrzeńprzestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950[1] David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią – odpowiedni kontrprzykład[2] podał Clifford Hugh Dowker.

WłasnościEdytuj

  • Przestrzeń Hausdorffa   jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru   potrzeba i wystarcza, aby przecięcie   z każdym zwartym podzbiorem   było domknięte (lub równoważnie – zwarte).
  • Przestrzeń Hausdorffa   jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru   potrzeba i wystarcza, aby przecięcie   z każdym zwartym podzbiorem   było otwarte.
  • Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
  • Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
  • Suma   jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy   jest k-przestrzenią dla każdego  
  • Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzeniaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii   nazywamy rodzinę podzbiorów   zbioru   takich, że   dla każdego zbioru zwartego   Rodzina   jest również topologią w zbiorze   Przestrzeń   z topologią   oznacza się symbolem   i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni   W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

  • topologia   jest mocniejsza od wyjściowej topologii  
  •   (zob. idempotentność),
  • Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy  [3].

k-ciągłośćEdytuj

Niech   będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję   nazywamy k-ciągłą, gdy   jest ciągła dla każdego zbioru zwartego   Jeśli symbole   i   oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami   i   to

  •   jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy   dla każdej przestrzeni topologicznej  [4].

PrzykładyEdytuj

  •   (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k3-przestrzenieEdytuj

Przestrzeń topologiczna   nazywana jest k3-przestrzenią, gdy   dla każdej przestrzeni regularnej   Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k3-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k3-przestrzenią.

PrzypisyEdytuj

  1. David Gale: Compact sets o functions and function rings. Proc. Amer. Soc. 1, 1950, s. 303–308.
  2. Clifford Hugh Dowker: Topology of metric complexes. Amer. Journ. of Math. 74, 1952, s. 555–577.
  3. D.E. Cohen, Spaces with weak topology, Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 5 (1954), s. 77–80.
  4. Pedro Morales, Non-Hausdorff Ascoli theory, Dissertationes Math. 119 (1974), s. 1–37.

BibliografiaEdytuj