Macierz wymierna – macierz o wymiarach
m
×
n
,
{\displaystyle m\times n,}
funkcje wymierne
w
i
j
(
s
)
{\displaystyle w_{ij}(s)}
s
{\displaystyle s}
ciała
F
,
{\displaystyle F,}
W
(
S
)
=
[
w
11
(
s
)
w
12
(
s
)
…
w
1
n
(
s
)
w
21
(
s
)
w
22
(
s
)
…
w
2
n
(
s
)
⋮
⋮
⋱
⋮
w
11
(
s
)
w
11
(
s
)
…
w
11
(
s
)
]
.
{\displaystyle W(S)={\begin{bmatrix}w_{11}(s)&w_{12}(s)&\dots &w_{1n}(s)\\w_{21}(s)&w_{22}(s)&\dots &w_{2n}(s)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{11}(s)&w_{11}(s)&\dots &w_{11}(s)\end{bmatrix}}.}
Zbiór macierzy wymiernych o wymiarach
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
s
{\displaystyle s}
F
{\displaystyle F}
F
m
×
n
(
s
)
.
{\displaystyle F^{m\times n}(s).}
F
{\displaystyle F}
liczb rzeczywistych , liczb zespolonych , liczb wymiernych lub ciało funkcji wymiernych zmiennej
z
{\displaystyle z}
Po sprowadzeniu wszystkich elementów
w
i
j
(
s
)
{\displaystyle w_{ij}(s)}
m
(
s
)
{\displaystyle m(s)}
s
{\displaystyle s}
potędze , powyższą macierz można przedstawić w postaci
W
(
s
)
=
L
(
s
)
m
(
s
)
,
{\displaystyle W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}},}
gdzie:
L
(
s
)
∈
F
m
×
n
(
s
)
{\displaystyle L(s)\in F^{m\times n}(s)}
F
,
{\displaystyle F,}
m
(
s
)
{\displaystyle m(s)}
wielomian .Macierz wymierna nieredukowalna
edytuj
Niech
m
(
s
)
=
(
s
−
s
1
)
n
1
(
s
−
s
2
)
n
2
…
(
s
−
s
p
)
n
p
,
∑
i
=
1
p
n
i
=
n
¯
.
{\displaystyle m(s)=(s-s_{1})^{n_{1}}(s-s_{2})^{n_{2}}\dots (s-s_{p})^{n_{p}},\sum _{i=1}^{p}n_{i}={\overline {n}}.}
L
(
s
k
)
≠
0
m
n
,
k
=
1
,
…
,
p
,
{\displaystyle L(s_{k})\neq 0_{mn},k=1,\dots ,p,}
gdzie
0
m
n
{\displaystyle 0_{mn}}
macierzą zerową o wymiarach
m
×
n
.
{\displaystyle m\times n.}
Jeżeli
L
(
s
k
=
0
m
n
,
{\displaystyle L(s_{k}=0_{mn},}
L
(
s
)
{\displaystyle L(s)}
(
s
−
s
k
)
{\displaystyle (s-s_{k})}
(
s
−
s
k
)
.
{\displaystyle (s-s_{k}).}
L
(
s
)
{\displaystyle L(s)}
L
(
s
)
=
L
q
s
q
+
L
q
−
1
s
q
−
1
+
…
L
1
s
+
L
0
,
{\displaystyle L(s)=L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0},}
możemy macierz
W
(
s
)
{\displaystyle W(s)}
W
(
s
)
=
L
q
s
q
+
L
q
−
1
s
q
−
1
+
…
L
1
s
+
L
0
m
(
s
)
.
{\displaystyle W(s)={\frac {L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0}}{m(s)}}.}
Dla macierzy wymiernej
W
(
s
)
=
[
s
s
−
1
1
s
+
2
s
2
s
+
2
s
+
2
s
+
1
2
s
]
{\displaystyle W(s)={\begin{bmatrix}{\frac {s}{s-1}}&{\frac {1}{s+2}}&s\\{\frac {2}{s+2}}&{\frac {s+2}{s+1}}&2s\end{bmatrix}}}
najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
m
(
s
)
=
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
,
{\displaystyle m(s)=(s+1)(s+2),}
pierwiastkami :
s
1
=
−
1
{\displaystyle s_{1}=-1}
s
2
=
−
2.
{\displaystyle s_{2}=-2.}
W
(
s
)
{\displaystyle W(s)}
W
(
s
)
=
1
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
[
s
(
s
+
2
)
s
+
1
s
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
2
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
2
2
s
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
]
=
L
(
s
)
m
(
s
)
.
{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}{\begin{bmatrix}s(s+2)&s+1&s(s+1)(s+2)\\2(s+1)&(s+2)^{2}&2s(s+1)(s+2)\end{bmatrix}}={\frac {L(s)}{m(s)}}.}
Macierz ta jest nieredukowalna, gdyż
L
(
s
1
)
=
[
−
1
0
0
0
1
0
]
,
L
(
s
2
)
=
[
0
−
1
0
−
2
0
0
]
.
{\displaystyle L(s_{1})={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}},L(s_{2})={\begin{bmatrix}0&-1&0\\-2&0&0\end{bmatrix}}.}
Wtedy postać
L
(
s
)
{\displaystyle L(s)}
L
(
s
)
=
[
0
0
1
0
0
2
]
s
3
+
[
1
0
3
0
1
6
]
s
2
+
[
2
1
2
2
4
4
]
s
+
[
0
1
0
2
4
0
]
.
{\displaystyle L(s)={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}.}
Wobec tego macierz rozważana w przykładzie w postaci
W
(
s
)
=
L
(
s
)
m
(
s
)
{\displaystyle W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}}}
W
(
s
)
=
1
(
s
+
1
)
(
s
+
2
)
(
[
0
0
1
0
0
2
]
s
3
+
[
1
0
3
0
1
6
]
s
2
+
[
2
1
2
2
4
4
]
s
+
[
0
1
0
2
4
0
]
)
.
{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}\left({\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}\right).}
Macierz wymierna właściwa
edytuj
Macierz wymierna jest właściwa (lub przyczynowa) wtedy i tylko wtedy, gdy
s
t
m
(
s
)
⩾
s
t
L
(
s
)
{\displaystyle st\ m(s)\geqslant st\ L(s)}
s
t
m
(
s
)
>
s
t
L
(
s
)
.
{\displaystyle st\ m(s)>st\ L(s).}
Bibliografia
edytuj
