Model Drudego

Model Drudego (również model elektronów swobodnych, model gazu elektronów swobodnych) – model przewodnictwa elektrycznego ciał stałych (głównie metali) zaproponowany przez Paula Drudego w 1900 r.[1][2]

W modelu Drudego poruszające się elektrony (niebieskie) zderzają się z jonami sieci krystalicznej (czerwone)

Model stosuje do elektronów klasyczną kinetyczną teorię gazów, zakładając, że bezładny ruch elektronów swobodnych w metalu odbywa się podobnie jak ruch cząsteczek w gazie i że są one rozpraszane na skutek zderzeń z nieruchomymi jonami sieci krystalicznej.

Półklasyczny model Drudego-Sommerfelda stosuje klasyczne równania ruchu, ale rozkład prędkości elektronów opisuje za pomocą kwantowego rozkładu Fermiego-Diraca.

Niekiedy modelem elektronów swobodnych bywa krótko nazywany model elektronów prawie swobodnych.

ModelEdytuj

Elektrony poruszają się w polu elektrycznym   Jednocześnie wykonują chaotyczne ruchy termiczne, zderzając się z jonami sieci krystalicznej[a], a ich prędkość ruchu termicznego jest tak duża, że pomiędzy zderzeniami zachodzącymi średnio co czas   uzyskują jedynie niewielki pęd   Średni przyrost pędu elektronu na skutek działania pola elektrycznego wyniesie wtedy:

 

Model zakłada, że wszystkie kierunki rozproszenia elektronu w wyniku zderzenia z jonami sieci są jednakowo prawdopodobne, zatem można zaniedbać średni pęd elektronu bezpośrednio po zderzeniu, co prowadzi do wyrażenia na średni pęd uzyskany przez elektron[b]:

 

Ponieważ średni pęd jest równy

 

(średnia prędkość   jest też nazywana prędkością unoszenia), gęstość prądu elektrycznego można zapisać jako:

 

gdzie   jest koncentracją elektronów,

wówczas:

 

Równanie to wyjaśnia ilościowo liniową zależność pomiędzy gęstością prądu i polem elektrycznym (prawo Ohma) – co było sukcesem modelu Drudego. Wielkość

 

nazywa się ruchliwością elektronów, a ostatnie równanie na gęstość prądu można zapisać jako:

 

Rozszerzenia modeluEdytuj

W 1905 roku Hendrik Lorentz opracował dokładniejszy model, w którym zrezygnował z uproszczenia zakładającego stałą prędkość termiczną elektronów i przyjął, że jej rozkład jest opisany przez rozkład Maxwella-Boltzmanna. Rezultaty tego modelu nie różniły się znacząco od podstawowego modelu Drudego.

Rozwój fizyki kwantowej i odkrycie zasady Pauliego skłoniły Arnolda Sommerfelda do zastosowania rozkładu Fermiego-Diraca zamiast rozkładu Maxwella-Boltzmanna. Jego model nosi nazwę modelu Drudego-Sommerfelda i jest często określany jako półklasyczny. W procesach transportu biorą udział elektrony znajdujące się w pobliżu poziomu Fermiego. Takie podejście jest możliwe jedynie wtedy, gdy żądana dokładność określenia położenia i pędu nie narusza zasady nieoznaczoności.

Rezultaty i zastosowaniaEdytuj

Prosty klasyczny model Drudego wyjaśnia przewodnictwo metali (choć nie daje informacji o zależności przewodnictwa od temperatury), klasyczny efekt Halla, elektronowe przewodnictwo cieplne i prawo Wiedemanna-Franza[c]. Niestety, zawodzi w innych przypadkach – na przykład przy obliczeniach wielkości elektronowej składowej ciepła właściwego, w wielu wypadkach daje też wielkości parametrów liczbowych mocno niezgodne z doświadczeniem.

Model Drudego-Sommerfelda prawidłowo określił elektronową składową ciepła właściwego, ale nie rozwiązał wielu innych problemów. Podstawową wadą modelu jest zaniedbanie wpływu jonów sieci na ruch elektronów między zderzeniami. Został on uwzględniony w modelu elektronów prawie swobodnych zbudowanym w oparciu o formalizmy mechaniki kwantowej.

Model może być zastosowany również do opisu dziur, choć nie przewiduje ich istnienia.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W rzeczywistości droga swobodna elektronów jest o wiele rzędów wielkości większa niż odległość między atomami, a mechanizm ich rozpraszania jest inny niż uważał Drude – zderzenia z defektami sieci i drganiami termicznymi (fononami). Dla wyników modelu mechanizm rozpraszania elektronów nie ma jednak większego znaczenia (N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka..., s. 26, 31).
  2. W pierwszych pracach Drude, stosując proste rozważania mechaniczne, doszedł do poniższego równania z czynnikiem 1/2, dopiero późniejsze rozważania statystyczne dały właściwy wynik.
  3. Sukces ten, choć niegdyś spektakularny, jest przypadkowy. Rzeczywista prędkość elektronu jest około stu razy większa od oszacowania klasycznego, a wkład elektronów do ciepła właściwego około stu razy mniejszy. Przy wyprowadzaniu prawa Wiedemanna-Franza z modelu Drudego te dwa błędy się wzajemnie znoszą (N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Fizyka..., s. 46).

PrzypisyEdytuj

  1. Paul Drude. Zur Elektronentheorie der metalle. „Annalen der Physik”. 306 (3), s. 566, 1900. DOI: 10.1002/andp.19003060312. 
  2. Paul Drude. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. „Annalen der Physik”. 308 (11), s. 369, 1900. DOI: 10.1002/andp.19003081102. 

BibliografiaEdytuj

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Fizyka ciała stałego. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-05360-7.