Moment zespolony
edytuj
Moment Zernikego rzędu
n
,
m
{\displaystyle n,m}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
A
n
m
=
n
+
1
π
∬
x
2
+
y
2
⩽
1
f
(
x
,
y
)
V
n
m
(
ρ
,
θ
)
¯
d
x
d
y
,
{\displaystyle A_{nm}={\frac {n+1}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y){\overline {V_{n}^{m}(\rho ,\theta )}}\ dxdy,}
gdzie:
n
{\displaystyle n}
liczbą naturalną ,
m
{\displaystyle m}
liczbą całkowitą taką, że
0
⩽
|
m
|
⩽
n
,
{\displaystyle 0\leqslant |m|\leqslant n,}
n
−
|
m
|
{\displaystyle n-|m|}
parzyste
ρ
,
θ
{\displaystyle \rho ,\theta }
współrzędnymi biegunowymi punktu
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle (x,y),}
ρ
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
θ
=
arctg
(
y
x
)
,
{\displaystyle \theta =\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right),}
V
n
m
(
ρ
,
θ
)
{\displaystyle V_{n}^{m}(\rho ,\theta )}
wielomianem Zernikego ,
V
n
m
(
ρ
,
θ
)
¯
{\displaystyle {\overline {V_{n}^{m}(\rho ,\theta )}}}
sprzężenie liczby zespolonej .Moment rzeczywisty
edytuj
Ze względu na to, iż funkcje obrazów są funkcjami rzeczywistymi, wygodnie jest korzystać z pary rzeczywistych momentów Zernikego:
C
n
m
=
2
(
n
+
1
)
π
∬
x
2
+
y
2
⩽
1
f
(
x
,
y
)
R
n
m
(
ρ
)
cos
(
m
θ
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle C_{nm}={\frac {2(n+1)}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y)R_{n}^{m}(\rho )\ \cos(m\theta )\ dxdy,}
S
n
m
=
2
(
n
+
1
)
π
∬
x
2
+
y
2
⩽
1
f
(
x
,
y
)
R
n
m
(
ρ
)
sin
(
m
θ
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle S_{nm}={\frac {2(n+1)}{\pi }}\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}f(x,y)R_{n}^{m}(\rho )\ \sin(m\theta )\ dxdy,}
gdzie:
R
n
m
{\displaystyle R_{n}^{m}}
wielomianem radialnym .Rzeczywiste i zespolone momenty Zernikego są powiązane zależnościami:
C
n
m
=
2
ℜ
(
A
n
m
)
,
{\displaystyle C_{nm}=2\Re (A_{nm}),}
S
n
m
=
−
2
ℑ
(
A
n
m
)
,
{\displaystyle S_{nm}=-2\Im (A_{nm}),}
A
n
m
=
A
n
,
−
m
¯
.
{\displaystyle A_{nm}={\overline {A_{n,-m}}}.}
Rekonstrukcja obrazu
edytuj
Mając dane momenty Zernikego, możemy rekonstruować obraz z dowolną dokładnością:
f
^
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
n
max
∑
m
A
n
m
V
n
m
(
ρ
,
θ
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}(x,y)=\sum _{n=0}^{n_{\max }}\sum _{m}A_{nm}V_{n}^{m}(\rho ,\theta ).}
Przykłady rekonstrukcji
Obraz oryginalny
Obraz zrekonstruowany
n
max
=
5
{\displaystyle n_{\max }=5}
n
max
=
10
{\displaystyle n_{\max }=10}
n
max
=
15
{\displaystyle n_{\max }=15}
n
max
=
20
{\displaystyle n_{\max }=20}
Momenty obrazu obróconego
edytuj
Rozważmy wersję obrazu
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
α
{\displaystyle \alpha }
f
α
(
x
,
y
)
=
f
α
(
ρ
,
θ
)
=
f
(
ρ
,
θ
−
α
)
.
{\displaystyle f^{\alpha }(x,y)=f^{\alpha }(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta -\alpha ).}
Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:
A
n
m
α
=
A
n
m
exp
(
−
i
m
α
)
.
{\displaystyle A_{nm}^{\alpha }=A_{nm}\exp(-im\alpha ).}
Momenty obrazu odbitego
edytuj
Rozważmy wersję obrazu
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
β
.
{\displaystyle \beta .}
f
β
(
x
,
y
)
=
f
β
(
ρ
,
θ
)
=
f
(
ρ
,
2
β
−
θ
)
.
{\displaystyle f^{\beta }(x,y)=f^{\beta }(\rho ,\theta )=f(\rho ,2\beta -\theta ).}
Wówczas moment n,m takiego obrazu wyniesie:
A
n
m
β
=
A
n
m
¯
exp
(
−
i
2
m
β
)
.
{\displaystyle A_{nm}^{\beta }={\overline {A_{nm}}}\exp(-i2m\beta ).}
Zastosowanie
edytuj
Ze względu na wymienione właściwości, momenty Zernikego mogą służyć do wyznaczania cech obrazu, które są niezależne od jego obrotu i odbicia. Cechy takie mogą służyć w zadaniu rozpoznawania wzorców .
Bibliografia
edytuj
A. Khotanzad, Y.H. Hong: Rotation invariant image recognition using features selected via a systematic. Pattern Recognition method vol. 23 . 1990. brak strony w książce Thomas H. Reiss: Recognizing Planar Objects Using Invariant Image Features. Lecture Notes in Computer Science, vol. 676 . Springer-Verlag, 1993. brak strony w książce 
