Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego dokonane na macierzy w ogólności zespolonej, tj.

A=(a_{ij})\mapsto A^{\dagger }=({\overline {a_{ji}}}),

gdzie ${\overline {a_{ji}}}$ – sprzężenie zespolone liczby $a_{ji}.$

Innymi słowy

A^{\dagger }={\overline {A}}^{T}={\overline {A^{T}}}.

Sprzężenie hermitowskie można rozumieć jako odwzorowanie z przestrzeni wektorowej macierzy zespolonych na tę samą przestrzeń, które przypisuje danej macierzy jej sprzężenie hermitowskie.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy jest pojęcie operatora sprzężonego do danego operatora zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta.

Inne oznaczenia sprzężenia hermitowskiego macierzy: $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ i $\mathbf {A} ^{\dagger }.$

Przykłady

A={\begin{bmatrix}1&i\\0&i\end{bmatrix}}\mapsto

A^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&0\\-i&-i\end{bmatrix}}

B={\begin{bmatrix}1&-2\\1+i&i\end{bmatrix}}\mapsto

B^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2&-i\end{bmatrix}}

C={\begin{bmatrix}1&100-999i&0\\1+2i&2+3i&0\\-i&3-4i&3\end{bmatrix}}\mapsto C^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&1-2i&i\\100+999i&2-3i&3+4i\\0&0&3\end{bmatrix}}

Twierdzenia

Niech $A$ oraz $B$ będą macierzami oraz niech $\lambda$ będzie liczbą zespoloną. Wówczas:

$(A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }$ (macierze $A$ i $B$ muszą mieć takie same wymiary)
$(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$ (gdy iloczyn $AB$ ma sens)
$(\lambda A)^{\dagger }={\overline {\lambda }}A^{\dagger },$ gdzie ${\overline {\lambda }}$ – sprzężenie zespolone liczby $\lambda$
$(A^{\dagger })^{\dagger }=A$
$\det(A^{\dagger })={\overline {\det A}}$ oraz $\operatorname {tr} (A^{\dagger })={\overline {\operatorname {tr} A}},$ o ile $A$ jest kwadratowa
wartości własne macierzy $A^{\dagger }$ są zespolonymi sprzężeniami wartości własnych macierzy $A$