p-grupa

$p$-grupa (także grupa pierwsza, grupa $p$-pierwsza) – grupa, której rząd jest równy $p^{n},$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą a $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą.

Konkretne wartości $p$ podstawia się do nazwy, np. dla $p=11$ mówi się o 11-grupie.

Podgrupę grupy $G$ nazywa się $p$-podgrupą, jeżeli jest ona $p$-grupą. Podgrupę $H$ grupy skończonego rzędu $G$ nazywa się $p$-podgrupą Sylowa, jeśli jest największego możliwego rzędu. Z twierdzenia Sylowa wynika, że jeśli $|G|=p^{k}\cdot r,$ gdzie $p\not |r,$ to $|H|=p^{k}.$

Własności

• Niech $G$ będzie grupą skończoną oraz $|G|=pq,$ gdzie $p,q$ są pewnymi liczbami pierwszymi. Jeżeli $G$ nie zawiera elementu rzędu $pq,$ to prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń:

1. $p$-podgrupy Sylowa lub $q$-podgrupy Sylowa grupy $G$ są abelowe.
2. $G/O_{\{p,q\}'}(G)=M$ oraz $\{p,q\}=\{5,13\}$ lub $\{p,q\}=\{7,13\},$ gdzie $M$ jest grupą monstrum.

Twierdzenie o centrum p-grupy

Centrum $p$-grupy jest nietrywialne, to znaczy, że $Z(G)\neq \{e\},$ gdzie $e$ jest elementem neutralnym $p$-grupy (jak wiadomo, $e\in Z(G)$).

Dowód. Niech $G$ będzie $p$-grupą, tj. $|G|=p^{k}$ dla pewnej liczby $k$ oraz niech funkcja

$\phi \colon G\times G\to G$

dane wzorem

$\phi (g,x)=gxg^{-1}.$

Odwzorowanie $\phi$ jest działaniem grupy $G$ na sobie (czyli na zbiorze $G$).

Ponieważ

$x\in Z(G)\iff \forall _{g\in G}gxg^{-1}=x\iff \forall _{g\in G}\phi (g,x)=x,$

więc orbita $G(x)$ elementu $x$ jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ jest elementem centrum $Z(G).$

Jeśli orbita $p$-grupy $G$ ma więcej niż jeden element, to liczba jej elementów jest podzielna przez $p{:}$

$\forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|.$

Istotnie, stabilizator $G_{x}$ jest wtedy pogrupą $G$ i jego rząd dzieli rząd G (wniosek z twierdzenia Lagrange’a), czyli $|G_{x}|=p^{n},$ gdzie $n<k$ (bo gdyby $n=k,$ to orbita byłaby jednoelementowa). Wówczas

$|G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{n}}}=p^{k-n}=p^{t},$ gdzie $t=k-n>0,$ czyli $p||G(x)|.$

$G$ jest sumą wszystkich orbit, więc:

$G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x).$

Stąd

$p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}|G(x)|=|Z(G)|+p\cdot s$

dla pewnego s. Stąd $p||Z(G)|,$ ale $|Z(G)|>0,$ bo $e\in Z(G),$ więc $|Z(G)|\geqslant p.$

Zobacz też

• twierdzenie Sylowa

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
• G. Malle, A. Moret’o, G. Navarro, Element orders and Sylow structure of finite groups, Math. Z. 252, No.1, 223-230 (2006); ISSN 0025-5874, ISSN 1432-1823.