Prawo Rayleigha-Jeansa

Prawo Rayleigha-Jeansa – w fizyce, prawo określające rozkład promieniowania ciała doskonale czarnego. Zostało zaproponowane przez angielskiego fizyka Johna Rayleigha, oraz matematyka i astronoma Jamesa Jeansa. Prawo to obecnie pełni jedynie rolę historyczną.

Porównanie prawa Rayleigha-Jeansa, rozkładu Wiena i prawa Plancka dla ciała o temperaturze 8 mK

Stosując prawa klasycznej termodynamiki, zakładając, że promieniowanie powstaje w wyniku drgań dipoli elektrycznych, wyprowadzili oni teoretyczny rozkład promieniowania ciała doskonale czarnego. Radiancja spektralna częstotliwościowa, czyli moc wypromieniowywana przez jednostkę powierzchni na jednostkę częstotliwości wynosi:

$f_{\nu }(\nu ,T)=2{\frac {\nu ^{2}}{c^{2}}}kT,$

lub radiancja spektralna na jednostkę długości fali

$f_{\lambda }(\lambda ,T)=2{\frac {ckT}{\lambda ^{4}}},$

gdzie:

$\nu$ – częstotliwość fali,

$\lambda$ – długość fali,

$c$ – prędkość światła w próżni,

$k$ – stała Boltzmana,

$T$ – temperatura w kelwinach.

Problemy

Rayleigh początkowo w 1900 r. zaproponował zależność od czwartej potęgi długości fali. Prawo okazuje się poprawne dla dużych długości fali, jednak jest całkowicie błędne dla fal krótszych (np. nadfioletowych). Przede wszystkim nie zgadza się z doświadczeniem – takie przewidywania były też niezgodne z empirycznym prawem Wiena – natężenie promieniowania nie miało maksimum, lecz rosło wraz z częstotliwością. Co więcej przewidywana ilość wypromieniowywanej energii jest nieskończenie duża, a każde ciało nawet zimne powinno promieniować bardzo dużo energii w nadfiolecie. Problem ten nazwany został przez Paula Ehrenfesta katastrofą w nadfiolecie. Stał się jedną z przyczyn wykazania, że wnioski wyciągane na podstawie mechaniki klasycznej mogą być niesłuszne i ułatwiło przyjęcie mechaniki kwantowej.

Rozkład Wiena

Wien przedstawił także empiryczny rozkład promieniowania, w którym nie było problemu katastrofy w nadfiolecie, ale nie był za to zgodny z doświadczeniem w niższych częstotliwościach (patrz rysunek)

$I(\lambda )={\frac {C_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {C_{2}}{\lambda T}}\right)}},$

gdzie: $C_{1},C_{2}$ to stałe wyznaczane doświadczalnie.

Rozkład Plancka

Poprawną zależność przedstawił Max Planck w 1900 r. Wygląda ona następująco:

$P(\lambda )={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {e} ^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}=P(\nu )={\frac {2h}{c^{2}}}~{\frac {\nu ^{3}\mathrm {d} \nu }{\mathrm {e} ^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$

gdzie:

$h$ – stała Plancka.

Jak widać Planck odjął jeden w mianowniku w rozkładzie Wiena.

Zgodność praw

Okazuje się, że jeśli przybliżyć, przy pomocy szeregu Taylora, dla małych ${\frac {h\nu }{kT}}$

$\mathrm {e} ^{\frac {h\nu }{kT}}\simeq 1+{\frac {h\nu }{kT}},$

to wzór Plancka przechodzi w prawo Rayleigha-Jeansa.

Analogicznie kiedy ${\frac {h\nu }{kT}}$ jest bardzo duże, jedynka jest zaniedbywalna i rozkład Plancka jest równy rozkładowi Wiena.

Bibliografia

• Rayleigh: Remarks upon the Law of Complete Radiation, Phil. Mag. 49, 1900, 539-540.
• J. H. Jeans: On the partition of energy between matter and ether, Phil. Mag. 10, 1905, 91-98.
• Die physikalisch unsinnige Divergenz des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei hohen Strahlungsfrequenzen wurde erstmals im Jahr 1905 (unabhängig voneinander) von Einstein, Rayleigh und Jeans beschrieben. Der Begriff „Ultraviolett-Katastrophe” wurde erstmals 1911 von Paul Ehrenfest verwendet: Ehrenfest, „Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?” Annalen der Physik, vol. 341, issue 11 (1911), 91-118.