Regularne liczby pierwsze

Regularne liczby pierwsze – w teorii liczb jest to klasa liczb pierwszych wprowadzona przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummera.

DefinicjeEdytuj

Istnieje kilka równoważnych definicji regularności liczby pierwszej.

Liczba pierwsza   jest regularna wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest dzielnikiem licznika żadnej z liczb Bernoulliego  
  • Definicja algebraiczna:
Liczba pierwsza   jest regularna wtedy i tylko wtedy, kiedy nie dzieli rzędu grupy klas ideałów  -tego ciała cyklotomicznego  
  • Równoważna, elementarna definicja:
Liczba pierwsza   jest regularna wtedy i tylko wtedy, kiedy dla każdego   suma   nie jest podzielna przez  [2].

Przykłady i własnościEdytuj

Kilka początkowych liczb pierwszych regularnych:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, … (ciąg A007703 w OEIS).

Ernst Kummer pokazał, że wśród liczb pierwszych mniejszych od 100 tylko trzy są nieregularne, mianowicie:

  • 37 (dzieli licznik liczby Bernoulliego  )
  • 59 (dzieli licznik  )
  • 67 (dzieli licznik   równy 844836133488004186204675994036021).

Początkowe wyrazy ciągu nieregularnych liczb pierwszych:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157 … (ciąg A000928 w OEIS).

Dla nieregularnych liczb pierwszych definiuje się indeks nieregularności równy liczbie tych liczb Bernoulliego   że   oraz p dzieli licznik   157 jest najmniejszą liczbą o indeksie nieregularności większym niż 1 – dzieli liczniki liczb   i  

W 1915 roku K. L. Jensen udowodnił, że nieregularnych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. To, czy istnieje również nieskończenie wiele regularnych liczb pierwszych, pozostaje nieudowodnioną hipotezą. Istnieje przypuszczenie (Siegel, 1964 r.), że asymptotycznie   (ok. 60,65%) wszystkich liczb pierwszych jest regularnych. Okazuje się, że wśród 283 145 liczb pierwszych mniejszych niż   171 548 (60,59%) jest regularnych.

Związek z wielkim twierdzeniem FermataEdytuj

Pojęcie regularności liczb pierwszych po raz pierwszy badał Ernst Kummer w związku z próbami dowodu wielkiego twierdzenia Fermata poprzez rozkład lewej strony równania   z użyciem elementów ciała cyklotomicznego   czyli ciała liczb wymiernych rozszerzonego o  -ty pierwiastek z jedynki  

 

Gdyby w pierścieniu tego ciała cyklotomicznego zachodziła jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, możliwe byłoby użycie tego rozkładu do wykluczenia istnienia rozwiązań równania Fermata. Kummer zauważył jednak, że w ogólnym przypadku pierścień tego ciała nie ma własności jednoznacznego rozkładu, i w związku z tym zaproponował zamiast rozkładu na czynniki pierwsze rozkład na dzielniki idealne, których odkrycie doprowadziło do wprowadzenia pojęcia regularności liczb pierwszych.

W 1850 roku Kummer udowodnił, że wielkie twierdzenie Fermata zachodzi dla wszystkich regularnych liczb pierwszych.

PrzypisyEdytuj

  1. E.E. Kummer. Extrait d’une lettre de M. Kummer à M. Liouville. „J. Math. Pures Appl.”. 16 (1851). s. 136. 
  2. Autorzy: E. i D.H. Lehmerowie i Vandiver.

BibliografiaEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Regular Prime, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
  • Gładki Paweł, „Wielkie twierdzenie Fermata” w FAQ grupy dyskusyjnej pl.sci.matematyka [1]
  • Caldwell Chris, „regular prime” w Prime Pages’ Glossary [2]