Otwórz menu główne

Rozkład Choleskiego

Rozkład Choleskiego lub rozkład Banachiewicza[1] jest procedurą rozkładu symetrycznej, dodatnio określonej macierzy na iloczyn postaci:

gdzie jest dolną macierzą trójkątną[2], a jej transpozycją.

Macierz dowolnego typu można rozłożyć na iloczyn dolnej i górnej macierzy trójkątnej postaci stosując metodę LU. Jedynie w przypadku macierzy symetrycznych i dodatnio określonych możliwy jest rozkład Choleskiego[1]. Jeśli jest dodatnio określoną macierzą hermitowską to rozkład Choleskiego ma postać:

Algorytm rozkładuEdytuj

Rozpisując iloczyn   otrzymujemy:

 

Współczynniki macierzy   są zatem równe:

 

W ogólności[2]:

 
 

W zależności od tego czy kolejne elementy macierzy   są wyznaczane wierszami czy kolumnami, powyższy algorytm nosi nazwę algorytmu Choleskiego-Banachiewicza lub algorytmu Choleskiego-Crouta. Ze względu na to, że   jest dodatnio określona, wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie.

ZastosowanieEdytuj

Podobnie jak rozkład LU, rozkład Choleskiego stosuje się w rozwiązywaniu równań liniowych. Stosuje się go również przy generowaniu wektorów losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym.

Aby zastosować rozkład Choleskiego do rozwiązywania układów równań z niesymetryczną macierzą główną układu należy pomnożyć lewostronnie układ równań przez transpozycję macierzy głównej układu

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj