Niech dany będzie układ równań liniowych :
A
⋅
x
=
y
,
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {y} ,}
gdzie
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
W metodzie LU macierz współczynników
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
U
:
{\displaystyle \mathbf {U} {:}}
A
=
L
⋅
U
,
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {U} ,}
gdzie:
L
=
[
l
11
0
⋯
0
l
21
l
22
⋯
0
⋮
⋮
⋱
0
l
n
1
l
n
2
⋯
l
n
n
]
,
U
=
[
u
11
u
12
⋯
u
1
n
0
u
22
⋯
u
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
u
n
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{11}&0&\cdots &0\\l_{21}&l_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots &l_{nn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&\cdots &u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &u_{nn}\end{bmatrix}}.}
Układ równań przyjmuje wówczas postać
L
⋅
U
⋅
x
=
y
,
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {y} ,}
a jego rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań z macierzami trójkątnymi:
L
⋅
z
=
y
,
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {z} =\mathbf {y} ,}
U
⋅
x
=
z
.
{\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {z} .}
Ostatecznie liczba mnożeń, potrzebnych do wyznaczenia wektora
x
,
{\displaystyle \mathbf {x} ,}
n
2
,
{\displaystyle n^{2},}
n
2
−
n
.
{\displaystyle n^{2}-n.}
Wyznacznik macierzy
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
twierdzenia Cauchy’ego :
d
e
t
(
A
)
=
d
e
t
(
L
⋅
U
)
=
d
e
t
(
L
)
⋅
d
e
t
(
U
)
,
{\displaystyle \mathbf {det(A)} =\mathbf {det(L\cdot \mathbf {U} )} =\mathbf {det(L)} \cdot \mathbf {det(U)} ,}
oraz z faktu, że wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem elementów na przekątnej:
d
e
t
(
L
)
=
l
11
⋅
l
22
⋅
…
⋅
l
n
n
,
{\displaystyle \mathbf {det(L)} =l_{11}\cdot l_{22}\cdot \ldots \cdot l_{nn},}
d
e
t
(
U
)
=
u
11
⋅
u
22
⋅
…
⋅
u
n
n
.
{\displaystyle \mathbf {det(U)} =u_{11}\cdot u_{22}\cdot \ldots \cdot u_{nn}.}
Ponadto przeważnie przy rozkładzie LU na przekątnej jednej z macierzy znajdują się jedynki – wtedy wyznacznik macierzy
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
,
{\displaystyle \mathbf {L} ,}
U
,
{\displaystyle \mathbf {U} ,}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
Zalety metody:
bardzo oszczędna gospodarka pamięcią,
wymaga najmniejszej liczby operacji w porównaniu z innymi metodami dokładnymi (nie biorąc pod uwagę procedur specjalnych).
Podstawowym problemem numerycznym w tej metodzie jest dokonanie rozkładu LU macierzy współczynników. Żeby ten rozkład macierzy był jednoznaczny, zakłada się, że elementy na głównej przekątnej jednej z macierzy,
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
U
,
{\displaystyle \mathbf {U} ,}
Rozkład LU jest wyznaczany za pomocą metody Doolittle’a (opisana niżej).
Ta metoda nie jest niezawodna[1] dzielenie przez zero . Istnieje jej modyfikacja pozbawiona tej wady, nazywana metodą Doolittle-Crouta, w której wykorzystuje się częściowy wybór elementu podstawowego [2]
Element podstawowy to taki element w macierzy
A
,
{\displaystyle A,}
element podstawowy zawsze z przekątnej głównej, i jeśli
a
k
k
{\displaystyle a_{kk}}
W metodach zmodyfikowanych wybierany jest ten element z danej
k
{\displaystyle k}
[3]
k
{\displaystyle k}
Jednocześnie te zmodyfikowane metody nie zawsze dają rozkład LU macierzy
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[2]
A
,
{\displaystyle \mathbf {A} ,}
[4] macierzy odwrotnej ; w innych zadaniach nie odgrywa roli.
W metodzie tej równość
A
=
L
U
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LU} }
n
{\displaystyle n}
n
2
{\displaystyle n^{2}}
[5]
l
i
j
{\displaystyle l_{ij}}
i
>
j
{\displaystyle i>j}
u
i
j
{\displaystyle u_{ij}}
j
⩾
i
{\displaystyle j\geqslant i}
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
=
[
1
0
⋯
0
l
21
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
0
l
n
1
l
n
2
⋯
1
]
⋅
[
u
11
u
12
⋯
u
1
n
0
u
22
⋯
u
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
u
n
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\l_{21}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots &1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&\cdots &u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &u_{nn}\end{bmatrix}}.}
Wyznaczanie kolejnych elementów macierzy
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
U
{\displaystyle \mathbf {U} }
U
,
{\displaystyle \mathbf {U} ,}
L
.
{\displaystyle \mathbf {L} .}
Wzory ogólne na poszczególne elementy macierzy rozkładu przedstawiają się następująco:
dla wszystkich
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
:
{\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}{:}}
u
i
j
=
a
i
j
−
∑
k
=
1
i
−
1
l
i
k
u
k
j
{\displaystyle u_{ij}=a_{ij}-\sum _{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}}
j
∈
{
i
,
i
+
1
,
…
,
n
}
,
{\displaystyle j\in \{i,\ i+1,\ldots ,\ n\},}
l
j
i
=
1
u
i
i
(
a
j
i
−
∑
k
=
1
i
−
1
l
j
k
u
k
i
)
{\displaystyle l_{ji}={\frac {1}{u_{ii}}}\left(a_{ji}-\sum _{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki}\right)}
j
∈
{
i
+
1
,
i
+
2
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle j\in \{i+1,\ i+2,\ldots ,\ n\}.}
Z ostatniego równania wynika, że metoda nie zadziała, gdy
u
i
i
=
0.
{\displaystyle u_{ii}=0.}
Liczba działań potrzebna do rozkładu[5]
mnożenia:
1
3
n
3
−
1
3
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{3}}n,}
dodawania:
1
3
n
3
−
1
2
n
2
+
1
6
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n.}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
]
[
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}}}
Pierwszy wiersz macierzy U :
5
=
1
⋅
u
11
+
0
⋅
0
+
0
⋅
0
→
u
11
=
5
{\displaystyle 5=1\cdot u_{11}+0\cdot 0+0\cdot 0\rightarrow u_{11}=5}
3
=
1
⋅
u
12
+
0
⋅
u
22
+
0
⋅
0
→
u
12
=
3
{\displaystyle 3=1\cdot u_{12}+0\cdot u_{22}+0\cdot 0\rightarrow u_{12}=3}
2
=
1
⋅
u
13
+
0
⋅
u
23
+
0
⋅
u
33
→
u
13
=
2
{\displaystyle 2=1\cdot u_{13}+0\cdot u_{23}+0\cdot u_{33}\rightarrow u_{13}=2}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
]
[
5
3
2
0
u
22
u
23
0
0
u
33
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&3&2\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}}}
Pierwsza kolumna macierzy L :
1
=
l
21
⋅
5
+
1
⋅
0
+
0
⋅
0
→
l
21
=
1
5
{\displaystyle 1=l_{21}\cdot 5+1\cdot 0+0\cdot 0\rightarrow l_{21}={\frac {1}{5}}}
3
=
l
31
⋅
5
+
l
32
⋅
0
+
1
⋅
0
→
l
31
=
3
5
{\displaystyle 3=l_{31}\cdot 5+l_{32}\cdot 0+1\cdot 0\rightarrow l_{31}={\frac {3}{5}}}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
l
32
1
]
[
5
3
2
0
u
22
u
23
0
0
u
33
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&3&2\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}}}
Drugi wiersz macierzy U :
2
=
1
5
⋅
3
+
1
⋅
u
22
+
0
⋅
0
→
u
22
=
7
5
{\displaystyle 2={\frac {1}{5}}\cdot 3+1\cdot u_{22}+0\cdot 0\rightarrow u_{22}={\frac {7}{5}}}
0
=
1
5
⋅
2
+
1
⋅
u
23
+
0
⋅
u
33
→
u
23
=
−
2
5
{\displaystyle 0={\frac {1}{5}}\cdot 2+1\cdot u_{23}+0\cdot u_{33}\rightarrow u_{23}=-{\frac {2}{5}}}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
l
32
1
]
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
u
33
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&3&2\\0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}}}
Druga kolumna macierzy L :
0
=
3
5
⋅
3
+
l
32
⋅
7
5
+
1
⋅
0
→
l
32
=
−
9
7
{\displaystyle 0={\frac {3}{5}}\cdot 3+l_{32}\cdot {\frac {7}{5}}+1\cdot 0\rightarrow l_{32}=-{\frac {9}{7}}}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
−
9
7
1
]
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
u
33
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {9}{7}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&3&2\\0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&u_{33}\end{bmatrix}}}
Trzeci wiersz macierzy U :
4
=
3
5
⋅
2
+
9
7
⋅
2
5
+
1
⋅
u
33
→
u
33
=
16
7
{\displaystyle 4={\frac {3}{5}}\cdot 2+{\frac {9}{7}}\cdot {\frac {2}{5}}+1\cdot u_{33}\rightarrow u_{33}={\frac {16}{7}}}
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
=
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
−
9
7
1
]
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
16
7
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {9}{7}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&3&2\\0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&{\frac {16}{7}}\end{bmatrix}}}
Do macierzy, której rozkładu dokonujemy dopisujemy lewostronnie macierz jednostkową . Na prawym bloku macierzy wykonujemy operacje elementarne takie jak w metodzie Gaussa (odejmowanie i mnożenie ). W lewym bloku macierzy zapisujemy współczynniki użyte do eliminacji.
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
[
1
0
0
5
3
2
0
1
0
1
2
0
0
0
1
3
0
4
]
[
1
0
0
5
3
2
1
5
1
0
0
7
5
−
2
5
3
5
0
1
0
−
9
5
14
5
]
[
1
0
0
5
3
2
1
5
1
0
0
7
5
−
2
5
3
5
−
9
7
1
0
0
16
7
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&5&3&2\\0&1&0&1&2&0\\0&0&1&3&0&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&5&3&2\\{\frac {1}{5}}&1&0&0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\{\frac {3}{5}}&0&1&0&-{\frac {9}{5}}&{\frac {14}{5}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&5&3&2\\{\frac {1}{5}}&1&0&0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {9}{7}}&1&0&0&{\frac {16}{7}}\end{bmatrix}}}
edytuj
Przepisujemy wiersz bez zmian, a elementy w kolumnie poniżej głównej przekątnej dzielimy przez element znajdujący się na głównej przekątnej.
Dla pozostałej części macierzy obliczamy uzupełnienie Schura :
a
i
j
=
a
i
j
−
a
i
k
a
k
j
{\displaystyle a_{ij}=a_{ij}-a_{ik}a_{kj}}
Powyższe kroki wykonujemy dla
k
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=1,\dots ,n-1}
Gdy któryś z elementów na głównej przekątnej wynosi zero, to rozkład
L
U
=
A
{\displaystyle LU=A}
A
.
{\displaystyle A.}
Dla każdej nieosobliwej macierzy kwadratowej
A
{\displaystyle A}
L
U
{\displaystyle LU}
A
.
{\displaystyle A.}
Metoda ta jest analogiczną do metody Doolittle’a, różnica polega na tym, że diagonala macierzy U jest wypełniona liczbami 1.
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
=
[
l
11
0
⋯
0
l
21
l
22
⋯
0
⋮
⋮
⋱
0
l
n
1
l
n
2
⋯
l
n
n
]
⋅
[
1
u
12
⋯
u
1
n
0
1
⋯
u
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0&\cdots &0\\l_{21}&l_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\cdots &l_{nn}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&u_{12}&\cdots &u_{1n}\\0&1&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
edytuj
Zostanie użyta ta sama macierz współczynników, jak w przykładzie dla metody Doolittle’a:
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
⋅
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
10
5
−
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10\\5\\-2\end{bmatrix}}}
Teraz zostaną zapisane dwa układy równań z macierzami trójkątnymi
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
U
:
{\displaystyle \mathbf {U} {:}}
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
−
9
7
1
]
⋅
[
z
1
z
2
z
3
]
=
[
10
5
−
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {9}{7}}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10\\5\\-2\end{bmatrix}}}
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
16
7
]
⋅
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
z
1
z
2
z
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&{\frac {16}{7}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{bmatrix}}}
Najpierw zostanie wyznaczony wektor
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
L
z
=
y
.
{\displaystyle \mathbf {Lz} =\mathbf {y} .}
z
1
,
{\displaystyle z_{1},}
z
1
,
{\displaystyle z_{1},}
z
2
,
{\displaystyle z_{2},}
z
3
,
{\displaystyle z_{3},}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
:
{\displaystyle z_{2}{:}}
1
⋅
z
1
=
10
→
z
1
=
10
{\displaystyle 1\cdot {\color {blue}z_{1}}=10\rightarrow z_{1}=10}
1
5
⋅
z
1
+
1
⋅
z
2
=
1
5
⋅
10
+
z
2
=
5
→
z
2
=
5
−
2
=
3
{\displaystyle {\frac {1}{5}}\cdot z_{1}+1\cdot {\color {blue}z_{2}}={\frac {1}{5}}\cdot 10+z_{2}=5\rightarrow z_{2}=5-2=3}
3
5
⋅
z
1
−
9
7
⋅
z
2
+
z
3
=
3
5
⋅
10
−
9
7
⋅
3
+
z
3
=
−
2
→
z
3
=
−
2
−
6
+
27
7
=
−
29
7
{\displaystyle {\frac {3}{5}}\cdot z_{1}-{\frac {9}{7}}\cdot z_{2}+{\color {blue}z_{3}}={\frac {3}{5}}\cdot 10-{\frac {9}{7}}\cdot 3+z_{3}=-2\rightarrow z_{3}=-2-6+{\frac {27}{7}}=-{\frac {29}{7}}}
Teraz drugi układ równań przyjmuje postać:
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
16
7
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
10
3
−
29
7
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&3&2\\0&{\frac {7}{5}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&{\frac {16}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10\\3\\-{\frac {29}{7}}\end{bmatrix}}}
Sposób rozwiązywania jest analogiczny jak dla pierwszego układu, z tym że elementy wektora
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
16
7
⋅
x
3
=
−
29
7
→
x
3
=
−
29
16
{\displaystyle {\frac {16}{7}}\cdot {\color {blue}x_{3}}=-{\frac {29}{7}}\rightarrow x_{3}=-{\frac {29}{16}}}
7
5
⋅
x
2
−
2
5
⋅
x
3
=
7
5
⋅
x
2
+
29
40
=
3
→
x
2
=
3
−
29
40
7
5
=
13
8
{\displaystyle {\frac {7}{5}}\cdot {\color {blue}x_{2}}-{\frac {2}{5}}\cdot x_{3}={\frac {7}{5}}\cdot x_{2}+{\frac {29}{40}}=3\rightarrow x_{2}={\frac {3-{\frac {29}{40}}}{\frac {7}{5}}}={\frac {13}{8}}}
5
⋅
x
1
+
3
⋅
x
2
+
2
⋅
x
3
=
5
⋅
x
1
+
3
⋅
13
8
−
2
⋅
29
16
=
10
→
x
1
=
10
−
39
8
+
29
8
5
=
7
4
{\displaystyle 5\cdot {\color {blue}x_{1}}+3\cdot x_{2}+2\cdot x_{3}=5\cdot x_{1}+3\cdot {\frac {13}{8}}-2\cdot {\frac {29}{16}}=10\rightarrow x_{1}={\frac {10-{\frac {39}{8}}+{\frac {29}{8}}}{5}}={\frac {7}{4}}}
Ostatecznie wynikiem jest wektor
x
=
[
7
4
,
13
8
,
−
29
16
]
.
{\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\frac {7}{4}},{\frac {13}{8}},-{\frac {29}{16}}\right].}
edytuj
Ponownie wykorzystane zostaną wyniki z przykładu dla metody Doolittle’a:
det
(
[
5
3
2
1
2
0
3
0
4
]
)
=
det
(
[
1
0
0
1
5
1
0
3
5
−
9
7
1
]
)
⋅
det
(
[
5
3
2
0
7
5
−
2
5
0
0
16
7
]
)
{\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}5&3&2\\1&2&0\\3&0&4\end{bmatrix}}\right)=\det \left({\begin{bmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{5}}&1&0\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {9}{7}}&1\end{bmatrix}}\right)\cdot \det \left({\begin{bmatrix}{\color {blue}5}&3&2\\0&{\color {blue}{\frac {7}{5}}}&-{\frac {2}{5}}\\0&0&{\color {blue}{\frac {16}{7}}}\end{bmatrix}}\right)}
Ponieważ na przekątnej macierzy
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
det
(
A
)
=
det
(
U
)
=
5
⋅
7
5
⋅
16
7
=
16
{\displaystyle \mathbf {\det(A)} =\mathbf {\det(U)} =5\cdot {\frac {7}{5}}\cdot {\frac {16}{7}}=16}
[6]
↑ Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
↑ a b Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
↑ Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
↑ Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
↑ a b Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
↑ Fortuna, Macukow i Wąsowski 1993 ↓
![{\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\frac {7}{4}},{\frac {13}{8}},-{\frac {29}{16}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aad1798aaae9a33b421a83cf6012ae96d69daa3)
