Stała Omega

Stała Omega – stała matematyczna $\Omega$ zdefiniowana jako rozwiązanie równania:

$xe^{x}=1.$

Można ją także przedstawić za pomocą funkcji W Lamberta:

$\Omega :=W(1).$

Wynosi ona w przybliżeniu:

$\Omega =0{,}567143290409783873\dots \approx 0{,}57.$

Aby obliczyć $\Omega$ z dowolną dokładnością można skorzystać ze sposobu iteracyjnego: przyjmujemy dowolną wartość dla $\Omega _{0},$ a kolejne przybliżenia liczby $\Omega$ daje prosty wzór:

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.$

Oczywiście uzyskana dokładność przybliżenia $\Omega$ zależy także od przyjętej dokładności liczby $e$.

Niewymierność i przestępność

Dowód tego, że $\Omega$ jest niewymierne, może być uzyskany bezpośrednio z faktu, że $e$ jest przestępne. Załóżmy, że $\Omega$ jest wymierne. Zatem istnieją liczby całkowite $p$ i $q$ takie, że:

$\Omega ={\frac {p}{q}}.$

Zatem:

$1={\frac {pe^{p/q}}{q}},$

$e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}.$

Zatem $e$ musiałoby być liczbą algebraiczną. Ale ponieważ $e$ jest przestępne, zatem $\Omega$ musi być niewymierne.

Przestępność stałej $\Omega$ wynika bezpośrednio z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa. Jeśli $\Omega$ byłaby liczbą algebraiczną, $e^{\Omega }$ byłoby przestępne, tak samo jak $e^{-\Omega }.$ Przeczy to przypuszczeniu, że jest ono liczbą algebraiczną (bo $e^{-\Omega }=\Omega$).

Zobacz też

• funkcja W Lamberta