Złota funkcja

Złota funkcja – funkcja zmiennej rzeczywistej, której wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych XY jest górna gałąź hiperboli:

Wykres złotej funkcji

${\frac {y^{2}-1}{y}}=x.$

W formie jawnej:

$y=\operatorname {gold} \ x={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}.$

Mając zdefiniowaną funkcję $\operatorname {gold} (x),$ dolną gałąź hiperboli można opisać jako wykres $y=-\operatorname {gold} (-x).$

Własności

Funkcja jest ciągła, dodatnia. Dla przeciwnych argumentów przyjmuje odwrotne wartości:

$\operatorname {gold} (-x)={\tfrac {1}{\operatorname {gold} \,x}},$    czyli    $\operatorname {gold} \,x\cdot \operatorname {gold} (-x)=1.$

Dla argumentów dążących do minus nieskończoności funkcja maleje do zera, zaś dla rosnących do nieskończoności rośnie nieograniczenie:

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {gold} \,x=0,\quad \lim _{x\to \infty }\operatorname {gold} \,x=\infty$

i asymptotami wykresu są

$y=0$ dla $x\to -\infty ,$

$y=x$ dla $x\to +\infty .$

Wartością gold(0) jest 1, gold(1) jest złota liczba $(1+{\sqrt {5}}):2,$ a gold(2) – srebrna liczba $1+{\sqrt {2}}.$

Złota funkcja jest powiązana z sinusem hiperbolicznym przez równość:

$\operatorname {arsinh} \ x=\ln \left(\operatorname {gold} \ 2x\right).$

Zobacz też

• Funkcje hiperboliczne