Twierdzenie Poincarégo-Bendixona
Twierdzenie Poincarego–Bendixona – twierdzenie o autonomicznych układach dynamicznych, mówiące o długofalowym zachowaniu orbit z ciągłych dynamicznych systemów na płaszczyźnie, cylindrze, lub sferze [1].
Twierdzenie edytuj
Dla rzeczywistego różniczkowalnego układu dynamicznego określonego na otwartym podzbiorze płaszczyzny, każdy niepusty zwarty zbiór graniczny orbity, która zawiera tylko skończoną liczbę punktów stałych, jest jednym z[2]:
- punktem stałym,
- periodyczną orbitą,
- spójną sumą skończonej liczby punktów stałych wraz z homoklinicznymi lub heteroklinicznymi orbitami, łączącymi je.
Ponadto, dla dwóch punktów stałych zawiera no najwyżej jedną orbitę łączącą punkty w tym samym kierunku. Jednak możliwe jest że będzie zawierał przeliczalnie wiele orbit homoklinicznych.
Słabsza wersja twierdzenia została zaproponowana przez Henriego Poincare bez ścisłego dowodu, który później został podany przez Ivara Bendixona.
Dyskusja edytuj
Warunek o topologii przestrzeni fazowych jest konieczny. Na przykład na torusie istnieją gęste nieperiodyczne orbity[3].
Zastosowania edytuj
Jeden z najważniejszych wyników polega na tym, że dwuwymiarowy ciągły układ dynamiczny nie może posiadać dziwnego atraktora. Jeżeli dziwny atraktor C istnieje w takim układzie, to on może być zawarty w domkniętym i ograniczonym podzbiorze przestrzeni fazowej. Poprzez odpowiednie ściągnięcie takiego obszaru wszystkie punkty stałe można oddzielić od takiego atraktora. Wtedy twierdzenie Poincarego-Bendixona mówi, że C nie jest dziwnym atraktorem – ogólnie jest albo cyklem granicznym, albo do niego zbiega.
Przypisy edytuj
Bibliografia edytuj
- The Poincaré–Bendixson Theory of Two-Dimensional Autonomous Systems. W: Earl A. Coddington: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955, s. 389–403. ISBN 0-89874-755-4.
- Teschl Gerald: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- R.N. D’Heedene. A third order autonomous differential equation with almost periodic solutions. „Journal of Mathematical Analysis and Applications”. 3 (2), s. 344–350, 1961. Elsevier. DOI: 10.1016/0022-247X(61)90059-2.
- Ivar Bendixson. Sur les courbes définies par des équations différentielles. „Acta Mathematica”. 24 (1), s. 1–88, 1901. Springer Netherlands. DOI: 10.1007/BF02403068.
- Sur les courbes définies par une équation différentielle. W: H. Poincaré: Oeuvres. T. 1. Paris: 1892.