Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych (zwane czasem twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego ) opisuje niezmienniczość liczby współczynników dodatnich i ujemnych formy kwadratowej ze względu na sprowadzanie jej do różnych postaci kanonicznych.
Jeśli sprowadza się rzeczywistą formę kwadratową do dwóch różnych postaci kanonicznych za pomocą nieosobliwych przekształceń rzeczywistych, to obie formy kanoniczne mają te same liczby współczynników dodatnich i współczynników ujemnych.
Przestrzenie ortogonalne
edytuj
Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych można wypowiedzieć w języku przestrzeni ortogonalnych.
Załóżmy, że
(
V
,
ξ
)
{\displaystyle (V,\xi )}
jest przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych oraz
(
α
1
,
…
,
α
n
)
,
(
β
1
,
…
,
β
n
)
{\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})}
są dwiema bazami prostopadłymi przestrzeni
(
V
,
ξ
)
.
{\displaystyle (V,\xi ).}
Wówczas,
r
+
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
r
+
(
β
1
,
…
,
β
n
)
r
−
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
r
−
(
β
1
,
…
,
β
n
)
r
0
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
r
0
(
β
1
,
…
,
β
n
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{+}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\\r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{-}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\\r_{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&r_{0}(\beta _{1},\dots ,\beta _{n}),\end{array}}}
gdzie:
r
+
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
card
{
1
⩽
i
⩽
n
:
q
ξ
(
α
i
)
>
0
}
r
−
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
card
{
1
⩽
i
⩽
n
:
q
ξ
(
α
i
)
<
0
}
r
0
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
card
{
1
⩽
i
⩽
n
:
q
ξ
(
α
i
)
=
0
}
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})>0\}\\r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})<0\}\\r_{0}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})&=&\operatorname {card} \{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi }(\alpha _{i})=0\}\end{array}}}
q
ξ
{\displaystyle q_{\xi }}
– forma kwadratowa funkcjonału dwuliniowego
ξ
.
{\displaystyle \xi .}
Liczbę
s
(
ξ
)
:=
r
+
(
α
1
,
…
,
α
n
)
−
r
−
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle s(\xi ):=r_{+}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})-r_{-}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
nazywa się sygnaturą funkcjonału
ξ
{\displaystyle \xi }
(bądź przestrzeni
V
{\displaystyle V}
– oznacza się zwykle ją wówczas symbolem
s
(
V
)
{\displaystyle s(V)}
).
Law of inertia (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].