Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie pozwalające na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń, które mogą zajść w konsekwencji zajścia innych zdarzeń, takich jak doświadczenia wieloetapowe.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech

 

będzie rodziną zdarzeń o dodatnim prawdopodobieństwie, które tworzą rozbicie przestrzeni   tj.

  •  
  •  
  •  

Wówczas dla dowolnego zdarzenia   zachodzi wzór

 

przy czym   ozacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia   pod warunkiem zajścia  

Uwaga. Ze skończoności miary   wynika, że rodzina   składa się z co najwyżej przeliczalnie wielu zbiorów. Zdarzenia   nazywane są czasem hipotezami[1].

DowódEdytuj

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa, mamy

 

ZastosowaniaEdytuj

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie – zgodnie ze swą nazwą – pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

PrzykładEdytuj

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

 

gdzie:

  •   to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
  •   to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
  •   to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
  •   to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitymEdytuj

TezaEdytuj

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie   dla którego   Zachodzi wtedy wzór[2]:

 

DowódEdytuj

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę, otrzymując w ten sposób lewą, lub też zauważyć, że

 

jest miarą probabilistyczną, a zatem jest więc sens mówić o   tj. prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia   pod warunkiem zajścia zdarzenia   gdy wiemy, że zaszło zdarzenie   Zachodzi równość[2]:

 

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj