Otwórz menu główne

Twierdzenie o wiriale

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale średnie energie spełniają zależność

Na przykład dla oscylatora harmonicznego a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale Dla planety w polu grawitacyjnym wobec tego

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowejEdytuj

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

 

Podstawimy

 

gdzie:

  – operator pędu,
  – operator położenia,

oraz

 

gdzie:

  – operator energii kinetycznej,
  – energia potencjalna.

Obliczmy  

 

Obliczmy  

 

Ostatecznie mamy:

 

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy

 

Średnie   w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego   hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

 

gdzie:

  – energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

 

Przyjmując   dostajemy twierdzenie o wiriale.

Zobacz teżEdytuj