Twierdzenie o zbieżności średnich

Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.

Twierdzenie

Jeśli ciąg $c_{n}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych $A_{n}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}$ istnieje i jest jej równa.

Jeśli ponadto $c_{n}>0$ dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych $G_{n}={\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}$ i harmonicznych $H_{n}={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}}$ mają tę samą granicę $\lim _{n\to \infty }H_{n}=\lim _{n\to \infty }G_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.$

Dowód

Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów $a_{n}=n$ i $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k},$ otrzymujemy:

• I. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {c_{n}}{1}}\right)=g\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=g.$
• II. $\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\left({\frac {c_{n}}{1}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty \Rightarrow \left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty .$

Dla średnich geometrycznych:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {1}{n}}\ln {\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}=\exp {\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}}=\exp {\lim _{n\to \infty }\ln {|c_{n}|}}}=\exp {\ln {\lim _{n\to \infty }c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.$

Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.

Dla średnich harmonicznych:

${\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}{n}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{c_{n}}}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.$

Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.

Zastosowania

• Ciąg ${\sqrt[{n}]{n!}}$ jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki.
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1\prod _{k=1}^{n-1}{\frac {k+1}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$