Współczynnik korelacji Pearsona

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi. Został opracowany przez Karla Pearsona.

Wzory matematyczne edytuj

Niech $x$ i $y$ będą zmiennymi losowymi o dyskretnych rozkładach. $x_{i},y_{i}$ oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych $(i=1,2,\dots ,n),$ natomiast ${\overline {x}},{\overline {y}}$ – wartości średnie z tych prób, tj.

{\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},{\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}.

Wówczas estymator współczynnika korelacji liniowej definiuje się następująco:

r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}},

r_{xy}\in [-1,1].

Ogólnie współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych:

r_{XY}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.

W szczególności dla zmiennych losowych o dyskretnych rozkładach ma on postać

r_{XY}={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}P(X=x_{i},Y=y_{j})x_{i}y_{j}\right)-{\overline {X}}\;{\overline {Y}}}{{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{n}P(X=x_{i})x_{i}^{2}\right)-{\overline {X}}^{2}}}{\sqrt {\left(\sum _{i=1}^{m}P(Y=y_{i})y_{i}^{2}\right)-{\overline {Y}}^{2}}}}}.

Wartość współczynnika korelacji mieści się w przedziale domkniętym [−1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. $r_{xy}=0$ oznacza brak liniowej zależności między cechami, $r_{xy}=1$ oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast $r_{xy}=-1$ oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna $x$ rośnie, to $y$ maleje i na odwrót.

Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [−1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

Poziomy korelacji i ich interpretacja edytuj

Korelacje	Ujemne	Dodatnie
Słabe	−0,5 do 0,0	0,0 do 0,5
Silne	−1,0 do −0,5	0,5 do 1,0

Korelacje można interpretować jako silne, słabe, ujemne^[1]^[2]. Interpretacja taka jest jednak arbitralna i nie możemy jej traktować zbyt ściśle. Na przykład współczynnik równy 0,9 dla socjologów i ekonomistów oznacza silną korelację, a dla fizyków posługujących się wysokiej klasy pomiarami przy badaniu praw przyrody oznacza korelację słabą^[2]. Z drugiej strony poziom korelacji ma wpływ na czas życia korelacji^[1].

Ograniczenia stosowalności edytuj

podatny na obserwacje skrajne.
interpretacja jest oczywista tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego (jest wtedy estymatorem elementu macierzy współczynników tego rozkładu).

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

↑ ^a ^b A. Buda, A. Jarynowski (2010), Life-time of correlations and its applications vol. 1, Wydawnictwo Niezależne: 5–21, December 2010, ISBN 978-83-915272-9-0.
↑ ^a ^b Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.).

[Buda-1] A. Buda, A. Jarynowski (2010), Life-time of correlations and its applications vol. 1, Wydawnictwo Niezależne: 5–21, December 2010, ISBN 978-83-915272-9-0.

[Cohen88-2] Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.).

[1]

[2]