Wstęga Newtona

Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji $z\mapsto z-{\tfrac {p(z)}{p'(z)}},$ która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów $p(Z)\in \mathbb {C} [Z].$

Fraktal Newtona dla $z_{i+1}=z_{i}^{3}-1$

Fraktal Newtona dla z³ – 1 = 0

Fraktal Newtona dla równania $p(z)=z^{5}-1$

Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech $\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n}$ będą pierwiastkami wielomianu $p(z),$ gdzie $n=deg(p).$ Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}.$ Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor $c_{n+1}.$

Następnie wybieramy jakiś zbiór $w$ punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca:

1. $z_{0}=w;z_{k+1}=z_{k}-{\frac {p(z_{k})}{p'(z_{k})}}$ (dla $k\geqslant 0$),
2. jeśli $\lim _{n->\infty }{z_{n}}=\zeta _{k},$ to $c(w)=c_{k}.$ Jeśli nie istnieje takie $\zeta _{k}$ (czyli metoda nie zbiega dla danego $z_{0},$ to $c(w)=c_{n+1}$).

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• fraktal
• kostka Mengera
• metoda Newtona
• MPSolve – obliczanie punktów miejsc zerowych wielomianów
• paproć Barnsleya
• zbiór Cantora
• zbiór Julii
• zbiór Mandelbrota