Cylinder przekształcenia

Cylinder przekształcenia (ang. mapping cylinder) – pewna przestrzeń ilorazowa przypisana każdemu przekształceniu między dwiema przestrzeniami topologicznymi.

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi, a $f\colon X\to Y$ będzie przekształceniem (ciągłym) między nimi. Cylindrem przekształcenia $f,$ oznaczanym czasem $Z(f),$ nazywa się przestrzeń

$M_{f}={\Big (}{\big (}X\times [0,1]{\big )}\amalg Y{\Big )}\,/\,\sim ,$

gdzie suma jest rozłączna, a relacja $\sim$ jest dana jako

$(x,0)\sim f(x)\quad {\mbox{ dla każdego }}x\in X.$

Intuicyjnie cylinder powstaje poprzez „przyklejenie” przestrzeni $X\times [0,1]$ do przestrzeni $Y$ wzdłuż przekształcenia $f.$ Z punktu widzenia teorii kategorii jest to koprodukt włóknisty (pushout) diagramu złożonego z przekształcenia $f$ i włożenia $i_{0}\colon X\to X\times [0,1].$

Własności

Przedstawienie przekształcenia jako złożenie korozwłóknienia z homotopijną równoważnością

Dla każdego $f\colon X\to Y$ istnieje retrakcja $r_{0}\colon Z(f)\to Y$ cylindra na podstawę, określona wzorem $r_{0}(x,t)=f(x),r_{0}(y)=y.$ Retrakcja ta jest w istocie retrakcją deformacyjną, co oznacza, że przestrzenie $Z(f)$ i $Y$ są homotopijnie równoważne. Wynik ten pozwala nam zamienić dowolne przekształcenie na korozwłóknienie, w następującym sensie: ponieważ włożenie $i_{1}\colon X\to Z(f),i_{1}(x)=(x,1)$ jest korozwłóknieniem (o czym można się przekonać zauważając na przykład, że ${\big (}Z(f),X\times \{1\}{\big )}$ jest parą NDR), $r_{0}$ jest homotopijną równoważnością, a $f=r_{0}\circ i_{1},$ zatem każde przekształcenie da się zapisać jako złożenie homotopijnej równoważności i korozwłóknienia. Wynik ten odgrywa dość istotną rolę przy definiowaniu homotopijnego kowłókna.

Bibliografia

• J.Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago and London: The University of Chicago Press, 1999, s. 41–43. ISBN 0-226-51183-9.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.brak strony w książce