Otwórz menu główne

Funkcja multiplikatywna

Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb spełniony jest warunek

Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych i to funkcję nazywamy całkowicie multiplikatywną.

PrzykładyEdytuj

Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to:

  •   funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od   które są względnie pierwsze z   – innymi słowy, rząd grupy  
  •   funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby  
  •   funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby  
  •   funkcja Möbiusa,
  •   funkcja tożsamościowa,
  •   funkcja stale równa 1,
  •   element neutralny splotu Dirichleta,     dla  

Zależność algebraicznaEdytuj

Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej   jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:

Jeżeli   jest rozkładem na liczby pierwsze liczby   to   a  

DowódEdytuj

Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci   są względnie pierwsze. Ponadto   ponieważ   z czego wynika druga równość.

Struktura algebraicznaEdytuj

Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:

           

Zobacz teżEdytuj