Funkcja prądu

Funkcja prądu (ang. stream function) – funkcja rzeczywista opisująca ruch płynu, której pochodne przestrzenne wyrażają składowe wektora prędkości płynu. Pojęcie funkcji prądu związane jest ściśle z pojęciem linii prądu.

Koncepcja funkcji prąduEdytuj

Funkcję prądu tworzy się w ten sposób, aby równanie ciągłości przepływu stanowiące hydrodynamiczny odpowiednik zasady zachowania masy spełnione było tożsamościowo. Funkcję prądu definiuje się wówczas jako funkcję   której pochodne przestrzenne wyrażają składowe wektora prędkości płynu  

Funkcję prądu tworzy się najczęściej dla przepływu płynu nieściśliwego. Równanie ciągłości przepływu odnoszące się do wektora prędkości płynu   przyjmuje wówczas postać:

 

Dla przepływów płynów nieściśliwych funkcję prądu zdefiniować można alternatywnie jako funkcję wektorową   której rotacja równa jest wektorowi prędkości płynu  

 

Równanie ciągłości przepływu jest wówczas spełnione tożsamościowo, gdyż

 

dla każdego pola wektorowego  

Znacznie trudniejsze jest tworzenie funkcji prądu dla przepływu płynu ściśliwego, dla którego równanie ciągłości przepływu przyjmuje bardziej skomplikowaną formę:

 

gdzie   jest gęstością płynu, a   czasem.

Funkcję prądu najłatwiej utworzyć dla dwuwymiarowego przepływu płynu nieściśliwego. Natomiast dla przepływu płynu ściśliwego funkcja prądu może być utworzona jedynie w nielicznych przypadkach szczególnych.

Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych prostokątnychEdytuj

W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych prostokątnych   równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

 

gdzie   są składowymi wektora prędkości  

W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na płaszczyźnie   równanie ciągłości redukuje się do postaci:

 

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję   dla której:

 
 

Alternatywnie funkcję prądu można definiować jako funkcję   dla której:

 
 

Nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo. Istnieją więc dwie alternatywne definicje funkcji prądu, różniące się jedynie znakiem.

Funkcje prądu dla przepływów dwuwymiarowych w płaszczyznach   oraz   definiuje się analogicznie jak dla płaszczyzny  

Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych cylindrycznychEdytuj

Współrzędne cylindryczne   otrzymywane są ze współrzędnych prostokątnych   poprzez następującą transformację układu współrzędnych:

 
 
 

W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych   równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

 

lub

 

gdzie   są składowymi wektora prędkości  

W przepływie dwuwymiarowym na powierzchni płaskiej rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych   równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

 

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję   dla której:

 
 

lub:

 
 

Podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione toższamościowo.

W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na powierzchni cylindrycznej, tj. we współrzędnych cylindrycznych   równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

 

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję   dla której:

 
 

lub:

 
 

Podobnie jak w przypadku poprzednim nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo.

Funkcja prądu a linie prąduEdytuj

W przepływie płaskim każdej linii prądu przypisać można odpowiadającą jej funkcję prądu. Funkcja prądu uzyskuje wówczas konkretny sens fizykalny. Natężenie przepływu strugi zawartej między dwoma liniami prądu (oznaczonymi poniżej jako ‘2’ oraz ‘1’) równe jest różnicy wartości odpowiadających im funkcji prądu:

 

Znaczenie pojęcia funkcji prąduEdytuj

Pojęcie funkcji prądu wykorzystywane jest często w mechanice płynów do analizy rozmaitych przypadków przepływu płynów idealnych i rzeczywistych.

LiteraturaEdytuj

  1. Batchelor G.K.: Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
  2. Kotchin N.E., Kibel N.A., Roze N.V.: Teoretitcheskaya gidromekhanika, vol. 1, 2, Moskva 1955.
  3. Landau L.D., Lifszyc E.M.: Hydrodynamika, Warszawa.
  4. Landau L.D., Lifszyc E.M.: Mechanika ośrodków ciągłych, Warszawa 1959.
  5. Lamb: Hydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge (istnieje wiele wydań, poczynając od 1932 roku).
  6. Milne-Thomson: Theoretical Hydrodynamics.
  7. Prosnak W.: Mechanika płynów, t. 1, 2, Warszawa.