Kompleks de Rhama

Kompleksem de Rhama w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ nazywamy kompleks łańcuchowy

$\Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n}),$

gdzie:

• $\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ jest ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$-modułem q-form różniczkowych

dla każdego $q\in \{1,2,\dots ,n\},$

• $d$ jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora $d$ nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w $\mathbb {R} ^{2}$ zamknięte formy postaci

$fdx+gdy,$

należy rozwiązać równanie różniczkowe

${\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.$

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

${}\,\int \limits _{\partial D}\omega =\int \limits _{D}d\;\omega ,$

gdzie $D$ jest obszarem w $\mathbb {R} ^{n},$ a $\partial D$ – jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w $\mathbb {R} ^{n},$ można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ można rozważać przestrzeń $\mathbb {C} ^{n}$ nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb {C} .$

Uściślenie definicji

Algebra form różniczkowych

Niech $x_{1},\dots ,x_{n}$ będą współrzędnymi w $\mathbb {R} ^{n}.$ Niech $\Omega ^{*}$ będzie algebrą nad ciałem $\mathbb {R}$ generowaną symbolami $dx_{1},\dots ,dx_{n}$ i o działaniu $\wedge ,$ dla których spełnione są dwie zależności:

• $dx_{i}\wedge dx_{i}=(dx_{i})^{2}=0,$
• $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i},i\neq j.$

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathbb {R}$ algebra $\Omega ^{*}$ ma bazę:

$1,$

$dx_{i},$

$dx_{i}\wedge dx_{j}$ dla $i<j,$

$dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}$ dla $i<j<k,$

...,

$dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}.$

Algebrą $\Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})$ jest algebra

$\Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{*},$ gdzie ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ jest algebrą funkcji gładkich na $\mathbb {R} ^{n}.$

Elementy algebry $\Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})$ nazywamy formami różniczkowalnymi na $\mathbb {R} ^{n}.$

Jeżeli $\omega \in \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n}),$ to formę $\omega$ można przedstawić jednoznacznie w postaci:

$\omega =\sum f_{i_{1}\cdots i_{q}}dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{q}}=\sum f_{I}dx_{I},$ gdzie $1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{q}\leqslant n,$ a $f_{i_{1}\cdots i_{q}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

Jeśli dla każdego składnika sumy $\omega =\sum f_{i_{1}\cdots i_{q}}dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{q}}$ liczba q jest stała, to formę $\omega$ nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

$\omega \in \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}),$

gdzie $\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ jest modułem nad pierścieniem ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ Można to także zapisać $deg(\omega )=q.$

W module $\Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})$ określona jest gradacja

$\Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})=\bigoplus {_{q=0}^{n}}\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}).$

Operator d różniczkowania form różniczkowych

Operator różniczkowania form różniczkowych

$d:\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})\to \Omega ^{q+1}(\mathbb {R} ^{n})$

jest określony w następujący sposób:

1. Jeśli $f\in \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{n}),$ to $df=\sum {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.$
2. Jeśli $\omega =\sum f_{I}dx_{I},$ to $d\omega =df_{I}\wedge dx_{I}.$

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości $d^{2}\omega =0.$

Własności operatora d

• Jeśli $\omega \in \Omega ^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\tau \in \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}),$ to

$d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{deg\,\omega }\omega \wedge \tau .$

• $d^{2}=0;$ dowodzi się tej równości w dwóch etapach

dla funkcji $d^{2}f=d\left(\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}\right)=\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},$ gdzie współczynniki ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$ są symetryczne, a iloczyny $dx_{i}\wedge dx_{j}$ są antysymetryczne, bo $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i},$ skąd $d^{2}f=0$

dla form $\omega =f_{I}dx_{I}$ mamy $d^{2}\omega =d(df_{I}\wedge dx_{I})=d^{2}f_{I}\wedge dx_{I}=0.$

Przykłady

• Jeśli $\omega =xdy,$ to $d\omega =dx\wedge dy.$
• Dla przypadku przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$ moduły $\Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{3})$ i $\Omega ^{3}(\mathbb {R} ^{3})$ mają rangę 1 nad ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}).$ Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:

${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{3}(\mathbb {R} ^{3}),$

a konkretnie

$f\longleftrightarrow f\longleftrightarrow fdx\wedge dy\wedge dz.$

• Dla przypadku przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$ moduły $\Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})$ i $\Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:

${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\simeq \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3}),$

a konkretnie

$X=(f_{1},f_{2},f_{3})\longleftrightarrow f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz\longleftrightarrow f_{1}dx\wedge dy-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dy\wedge dz.$

• W przestrzeni trójwymiarowej $\mathbb {R} ^{3}{:}$

Dla funkcji f forma $df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz$ jest gradientem.

Dla 1-formy $\omega =f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz$ forma $d\omega =\left({\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}\right)\,dx\wedge dz+\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy$ jest rotacją.

Dla 2-formy $\omega =f_{1}dy\wedge dz-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dx\wedge dy$ forma $d\omega =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz$ jest dywergencją.

Bibliografia

• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982. Brak numerów stron w książce

Literatura dodatkowa

• G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956. Brak numerów stron w książce