Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.
Niech
A
0
{\displaystyle A_{0}}
P
0
{\displaystyle P_{0}}
Niech punkt
A
{\displaystyle A}
ruchem jednostajnym z prędkością
v
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle v=const}
P
{\displaystyle P}
w
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle w=const}
A
.
{\displaystyle A.}
P
{\displaystyle P}
Niech
k
=
v
w
.
{\displaystyle k={\tfrac {v}{w}}.}
Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k Niech
A
0
=
(
0
,
0
)
,
P
0
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0)}
A
{\displaystyle A}
Y
:
{\displaystyle Y{:}}
y
(
x
)
=
1
2
(
1
−
x
(
1
−
k
)
(
1
−
k
)
−
1
−
x
(
1
+
k
)
(
1
+
k
)
)
{\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x^{(1-k)}}{(1-k)}}-{\frac {1-x^{(1+k)}}{(1+k)}}\right)}
k
≠
1
{\displaystyle k\neq 1}
y
(
x
)
=
1
4
⋅
(
x
2
−
ln
x
2
−
1
)
{\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
Wyprowadzenie
edytuj
W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:
d
x
d
y
=
−
x
a
−
y
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {-x}{a-y}},}
co prowadzi do równania różniczkowego :
x
+
x
′
(
a
−
y
)
=
0
,
{\displaystyle x+x'(a-y)=0,}
gdzie
x
>
0.
{\displaystyle x>0.}
Z
a
=
v
t
{\displaystyle a=vt}
x
x
′
+
v
t
=
y
,
{\displaystyle {\frac {x}{x'}}+vt=y,}
po zróżniczkowaniu po
y
:
{\displaystyle y{:}}
y
˙
=
d
y
d
t
=
v
⋅
x
′
2
x
⋅
x
″
{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {v\cdot x'^{2}}{x\cdot x''}}}
Dalej stosowany jest wzór na długość łuku :
l
=
w
t
=
k
∫
0
y
1
+
(
x
′
)
2
d
y
.
{\displaystyle l=wt=k\int _{0}^{y}{\sqrt {1+(x')^{2}}}\mathrm {d} y.}
Z
d
x
2
+
d
y
2
=
w
2
d
t
2
{\displaystyle \mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=w^{2}\mathrm {d} t^{2}}
y
˙
=
w
1
+
x
′
2
{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {w}{\sqrt {1+x'^{2}}}}}
Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po
x
:
{\displaystyle x{:}}
x
″
−
k
⋅
x
′
2
x
⋅
1
+
x
′
2
=
0.
{\displaystyle x''-k\cdot {\frac {x'^{2}}{x}}\cdot {\sqrt {1+x'^{2}}}=0.}
Rozwiązanie po podstawieniu
u
=
y
′
=
1
x
′
,
x
″
=
−
1
u
3
d
u
d
x
{\displaystyle u=y'={\frac {1}{x'}},\quad x''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}}
prowadzi do:
−
d
u
1
+
u
2
=
k
⋅
d
x
x
,
{\displaystyle {\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{x}},}
po scałkowaniu :
arsinh
u
=
k
⋅
ln
x
+
C
,
{\displaystyle \operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln x+C,}
a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z
C
1
=
e
C
{\displaystyle C_{1}=e^{C}}
y
′
=
d
y
d
x
=
1
2
[
(
C
1
⋅
x
)
k
−
(
C
1
⋅
x
)
−
k
]
.
{\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right].}
Ponownie całkuje się, ze stałą
C
2
.
{\displaystyle C_{2}.}
d
y
d
x
|
x
=
1
=
0
{\displaystyle \left.{\tfrac {dy}{dx}}\right|_{x=1}=0}
wynika
C
1
=
1
,
{\displaystyle C_{1}=1,}
y
|
x
=
1
=
0
{\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=0}
wynika:
C
2
=
k
1
−
k
2
{\displaystyle C_{2}={\frac {k}{1-k^{2}}}}
C
2
=
−
1
4
{\displaystyle C_{2}=-{\frac {1}{4}}}
k
=
1
,
{\displaystyle k=1,}
czyli:
y
(
x
)
=
1
2
(
x
(
1
+
k
)
(
1
+
k
)
−
{
x
(
1
−
k
)
(
1
−
k
)
ln
|
x
|
}
)
+
{
k
1
−
k
2
−
1
4
}
{
k
≠
1
k
=
1
{\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {x^{(1+k)}}{(1+k)}}-\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{(1-k)}}{(1-k)}}\\\ln {|x|}\end{matrix}}\right\}\right)+\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{1-k^{2}}}\\-{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\right\}\ {\begin{cases}k\neq 1\\k=1\end{cases}}}
skąd wynikają wzory podane na początku.
Wyrażenie zależności odwrotnej
x
(
y
)
{\displaystyle x(y)}
![{\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f952b138e3900d52dbcd6589b78a5dc740340b5)
