nazywa się macierzą fundamentalną[a] lub macierzą Wrońskiego.
Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,
W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy
W tym przypadku zachodzi twierdzenie:
Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy są liniowo zależne nad C wtedy i tylko wtedy gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[2].
Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje
Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe oraz tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:
Rozwiązanie:
Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a) tzn. jest rozwiązaniem.
b) tzn. również jest rozwiązaniem.
Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):
Wtedy:
c)
Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.
Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni wnioskujemy, że układ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla