Miara doskonała

Miara doskonała – miara skończona, która w pewnym sensie może być opisana przez wartości na przeciwobrazach borelowskich podzbiorów prostej poprzez funkcje mierzalne. Miary doskonałe są obiektami porządnymi z punktu widzenia teorii miary; pojawiają się często w kontekście całkowania funkcji o wartościach w przestrzeniach funkcyjnych (np. w przestrzeniach Banacha).

Definicja formalna

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Miarę $\mu$ nazywa się doskonałą, gdy dla każdej funkcji mierzalnej (borelowskiej) $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ oraz każdego zbioru $F\subseteq \mathbb {R}$ takiego, że $f^{-1}(F)\in {\mathcal {A}}$ istnieje zbiór borelowski $B\subseteq \mathbb {R}$ taki, że

$\mu (f^{-1}(F))=\mu (f^{-1}(B)).$

Własności

• Każda skończona miara Radona jest doskonała.
• Jeśli $\mu$ jest miarą doskonałą oraz zbiór $A$ jest $\mu$-mierzalny i miary dodatniej, to $\mu |_{A}$ jest również doskonała.
• Jeśli $\mu$ jest miarą doskonałą na przestrzeni $\Omega$ oraz $T$ jest ośrodkową przestrzenią metryczną, to dla każdej funkcji borelowskiej $f\colon \Omega \to T$ oraz każdego zbioru $F\subseteq T$ takiego, że $f^{-1}(F)\in {\mathcal {A}}$ istnieje zbiór borelowski $B\subseteq T$ taki, że

$\mu (f^{-1}(F))=\mu (f^{-1}(B)).$

Bibliografia

• M. Talagrand, Pettis integral and measure theory, Mem. Amer. Math. Soc. 51 (307)